МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЛЫСЬВЕНСКИЙ ФИЛИАЛ

Мухаметьянов Ильдар Талгатович

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

к изучению дисциплин

«МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»,

«МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ»,

«СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ»,

«ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ

ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ»

Раздел «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

ЛЫСЬВА, 2015

ББК

Мухаметьянов И.Т. Методические материалы к изучению дисциплин «Методы оптимизации», «Методы оптимальных решений», «Системный анализ и управление», «Исследование операций и методы оптимизации систем». Раздел «Линейное программирование».  Лысьва: Изд-во Лысьвенского филиала Пермского национальногог исследовательского политехнического ун-та, 2015.  162 с.

Рассмотрено на заседании кафедры Естественно научных дисциплин:

протокол №____от____________2015 г.

Данное пособие является пособием по разделу «Нелинейное программирование» для студентов вузов. Читатель найдёт в нём как теоретический материал, так и материал для практических занятий по разделу. Кроме того, в пособии приведены варианты для самостоятельной работы студентов (всего 30 вариантов), а также образцы оформления их решений.

 Мухаметьянов И.Т., 2015 г.

 Лысьвенский филиал Пермского национального исследовательского политехнического университета (ЛФ ПНИПУ), 2015 г.

Содержание

Содержание………………………………………………………………………..3

Предисловие………………………………………………………………………4

Глава I. Начала линейного программирования ……………………………6

§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного программирования, их математические модели.………………………………6

1.1. Задача линейного программирования (6). 1.2. Типичные задачи линейного программирования, их математические модели (7). 1.3. Упражнения (10).

§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП.……………………………...11

2.1. Общая ЗЛП (12). 2.2. Канонический вид ЗЛП (12). 2.3. Упражнение (14)

§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Идея аналитического решения.………………………….15

3.1. Теоретические основы решения ЗЛП (15). 3.2. Геометрическая интерпретация ЗЛП (17). 3.3. Упражнение (20). 3.4. Идея аналитического решения ЗЛП (20). 3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение) (25).

§4. Симплекс-метод решения ЗЛП…………………………………….26

4.1. Алгоритм симплекс-метода (26). 4.2. Симплекс-таблица (32). 4.3. Упражнения (34).

§5. Метод искусственного базиса………………………………………34

5.1. Суть метода искусственного базиса (34). 5.2. Упражнение (41).

Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача………………………………………..42

§1. Теория двойственности……………………………………………...69

1.1. Задача, приводящая к паре двойственных задач (42). 1.2. Пара симметричных двойственных задач (43). 1.3. Пара несимметричных двойственных задач (44). 1.4. Теоремы двойственности (48). 1.5. Упражнения (51).

§2. Элементы целочисленного программирования……………………51

2.1. Постановка и геометрическая интерпретация (51). 2.2. Метод Гомори (55). 2.3. Упражнения (58).

§3. Транспортная задача………………………………………………...59

3.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи (59). 3.2. Теоретические основы транспортной задачи (62). 3.3. Алгоритм метода потенциалов (66). 3.4. Сведение задачи открытого типа к задаче закрытого типа (83). Упражнения (86).

Приложения…………………….……………………………………………………..87

Приложение 1. Варианты индивидуальных заданий. …………………….87

Приложение 2. Образец выполнения и индивидуального задания……….98

Предисловие

Предлагаемое читателю учебно-методическое пособие является одним из пособий по отдельным главам тех приложений математики, в которых изучаются методы нахождения экстремумов различных функций. Эти главы носят объединённое название «Методы оптимизации», хотя могут изучаться в рамках дисциплин «Методы оптимальных решений», «Системный анализ и управление», «Исследование операций и методы оптимизации систем» и т.п. Пособие посвящено разделу «Нелинейное программирование» и предназанчено для студентов технических и экономических вузов.

Основной целью этих пособий является оказание помощи студенту при самостоятельной работе над соответствующими главами методов оптимизации, в первую очередь над материалом практического характера.

Пособия условно можно разделить на две части.

В первой части приводятся необходимый теоретический материал в конспективной форме. Поэтому теоремы нами не доказываются. Также приводятся примеры решения задач технического характера и, как правило, приведены упражнения для самостоятельной работы студентов. Теоретические задачи мы в пособие не включили, так как ограниченность во времени для аудиторных занятий не позволяет, как правило, довести дело до рассмотрения таких задач. Поэтому желающих не ограничиваться техническими задачами мы отсылаем к источникам, которые приведены в списке литературы. Среди задач есть как заимствованные из различных сборников задач, так и составленные нами.

Вторая часть включает в себя приложения. Приложение 1 содержит варианты для индивидуальных самостоятельных работ. В Приложении 2 мы приводим образцы выполнения индивидуального задания. В этой связи нам пришлось повторять изложение некоторых методов решения задач. Следует обратить внимание на следующую особенность образца выполнения индивидуальной работы: индивидуальная самостоятельная работа выполняется за рамками аудиторных часов, поэтому задания не только содержат задачи, требующие больших вычислений, но и подробных пояснений, с соответствующими ссылками на теоретический материал, выходящий даже за рамки данной темы. Это актуально не только для студентов-заочников, для которых выполнение домашних контрольных является неотъемлемым атрибутом учебного процесса, но и для студентов дневного и вечернего отделений, которых в погоне за результативностью на ЕГЭ в школе научили практически только ставить галочки напротив правдоподобного варианта ответа. Поэтому при выполнении письменных индивидуальных работ студент обязан привести все подробности их выполнения.

Таким образом, учебно-методические пособия представляют собой, в определённой степени, достаточно автономный учебно-методический комплекс по отдельной главе методов оптимизации.

Нумерация, принятая в каждой части тройная и имеет вид i.j.k, где i  номер параграфа, j  номер пункта в параграфе и k  номер определения, утверждения, примера или упражнения, причем нумерация k  сквозная. Аналогична, за некоторыми исключениями, нумерация формул. Кроме того, иногда текст изложения сопровождается комментариями. Они приведены в угловых скобках более мелким шрифтом.

Автор надеется, что пособие будет значительным подспорьем в изучении методов оптимизации не только под руководством преподавателя, но и при самостоятельной работе студентов.

Желаем успехов!

Доцент Мухаметьянов Ильдар Талгатович