Искомая вероятность

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=1/3+1/6=1/2

Теорема 3.Сумма вероятностей событий А_1,А₂, … А_n, образующий полную группу, равна единице:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1

Пример. Заочный деканат получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице

0,7+0,2+р=1

Отсюда искомая вероятность

р=1-0,9=0,1

Теорема 4.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

Р(А) + Р( )=1

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначаетcя через q

p+q=1

Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0,7.Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События “день дождливый” и “день ясный”- противоположные, поэтому искомая вероятность

q=1-p=1-0,7=0,3

Замечание 2.При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле

Р(А)=1-Р( )

Пример. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотябы одна стандартная.

Решение. События “среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная” и “среди извлеченных нет ни одной стандартной”-противоположные. Найдем вероятность противоположного события. Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно С . Число нестандартных деталей n-m; из этого числа деталей можно способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна Р( )= .

Искомая вероятность

Р(А)=1-Р( )=1-

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий А_1,А₂, … А_n, независимых в совокупности. равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Р(А)=1-q_1,q_2,…q_n

Частный случай. Если события А_1,А₂, … А_n имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность появления хотябы одного из этих событий

Р(А)=1-qⁿ.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁=0,8; р₂=0,7;р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А_1,А₂, и А₃ (т.е. вероятности промахов) соответственно равны:

q₁=1-p₁=1-0,8; q₂=1-p₂=1-0,7=0.3; q₃=1-p₃=1-0,9=0.1

Искомая вероятность

Р(А)=1- q_1,q_2,…q_n =1-0,2*0,3*0,1=0,994.

Зависимые события. Рассмотрим теперь случай ,когда приходится иметь дело с условными вероятностями. Например, в партии из 6 перчаток содержится 3 перчатки на правую руку и 3 перчатки на левую руку. Из партии делаем случайную выборку из двух перчаток. Нас интересует, какова вероятность выборки двух парных перчаток ?

Решение. Вероятность выбора правой перчатки при первом выборе равна 3/6. После выбора этой перчатки вероятность выбора левой перчатки при второй попытки составляет 3/5 (т.к. в партии осталось для выбора только 5 перчаток). Следовательно вероятность выбора сначала правой перчатки, а затем левой перчатки равна 3/6*3/5=9/30.Таким образом, в соответствии с изложенным в теореме т.2, вероятность того, что взятые перчатки окажутся парными составляет 18/30 (т.к.9/30+9/30=18/30).

Чтобы проверить наш вывод, отметим, что вероятность выбора двух правых перчаток равна 3/6*2/5=6/30. Таким образом, вероятность выбора двух непарных перчаток (2-х на правую или 2-х на левую руку) составляет 6/30+6/30=12/30. Отсюда можно сделать заключение, что наш вывод оказался верным, т.к. 18/30+12/30=1.

Исходя из этого, можно сформулировать теорему умножения вероятностей для зависимых событий.

Теорема 6. Вероятность появления двух событий равна безусловной вероятности первого события, умноженной на условную вероятность второго события

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)+Р(В)Р(А/В)

Эту же теорему можно сформулировать и в более современном исполнении следующим образом :

Теорема 7..Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную выероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна n произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А_1,А₂, … А_n) = Р(А₁) Р_А1(А₂)Р_А1А2(А₃)…Р_{А1А2…Аn-1}(A_n),

где Р_{А1А2…Аn-1}(A_n) – вероятность события A_n , вычисленная в предположении, что остальные события уже наступили.

Пример.

У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а зптем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков-конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А)

Р(А)=3/10

Вероятность того, что второй валик окажется элептическим (событие В), вычисленная в предположении , что первый валик- конусный, т.е. условная вероятность

Р_А(В)=7/9

По теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ)=(3/10)*(7/9)=7/30

Тема: