3.1. Контрольные диаграммы и проверка гипотез
Идея, которая лежит в основе контрольных диаграмм, должна быть хорошо знакома и по-нятна исследователям. Соответствующая нулевая гипотеза заключается в том, что процесс яв-ляется управляемым. Эта гипотеза отвергается, если любые точки лежат вне контрольных границ или наблюдается закономерность в распределении значений процесса. Еще один важный вывод заключается в потенциальной возможности допущения ошибок, как и при стандартной проверке гипотез. Иначе говоря, точка может находиться за пределами контрольных границ не потому, что существует особая причина, а из-за нормальной изменчивости процесса. С другой стороны, может существовать особая причина, которая недостаточно серьезна для размещения точки вне кон-трольных границ. Статистический анализ никогда не может быть точным на все 100%.
3.2. Диаграммы переменных и атрибутов
Контрольные диаграммы могут быть двух типов: для слежения за переменными и атрибу-тами. Диаграммы переменных отображают непрерывные меры, например вес, диаметр, толщину, чистоту и температуру. Как можно было заметить, многие статистические инструменты сфокуси-рованы на средних величинах этих мер. В управляемом процессе ожидается получение стабиль-ного среднего результата процесса с течением времени.
Диаграммы атрибутов отличаются от диаграмм переменных тем, что они описывают дис-кретный атрибут, а не непрерывную меру, например вес и объем. Атрибутом может быть коли-чество дефектов, количество несчастных случаев или номер уровня безопасности.
3.3. Использование подчиненных групп
Для сравнения уровней процесса в разные моменты времени обычно отдельные наблю-дения группируются вместе для создания процесса подчиненных групп. Цель подгруппы состоит в создании набора наблюдений, в которых процесс остается относительно стабильным с конт-ролируемой изменчивостью. Таким образом, подгруппа должна представлять набор однородных условий. Например, при измерении результатов производственного процесса можно было бы создать подгруппу, состоящую из значений, полученных с помощью того же механизма в близкий момент времени. Сразу после создания подгрупп можно вычислить среднее и дисперсию для зна-чений подгруппы. Затем изменчивость значений процесса внутри подгрупп может использоваться для вычисления контрольных границ всего набора значений процесса. После этого контрольная диаграмма может дать ответ на вопрос: варьируются ли средние для разных подгрупп сильнее, чем значения внутри подгрупп ?
4. Контроль по количественному признаку
Любой контролируемый параметр по своей природе является случайной величиной, по-скольку он может принять то или иное значение, причем заранее неизвестное.
Изучением случайных величин занимается теория вероятностей. Эта математическая наука позволяет получать вполне определенные количественные результаты и на их основе принимать достаточно обоснованные и в основном правильные решения. Все случайные величины подчиня-ются определенным закономерностям, называемым законами распределения.
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятнос-тями. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями, что пол-ностью определяется законом распределения. Законы распределения могут быть представлены в аналитической, табличной или графической формах. Законы распределения имеют большое прик-ладное значение в различных областях человеческой деятельности и, в частности, в области про-мышленного производства для решения задач, связанных с обеспечением качества продукции.
Случайные величины могут быть либо дискретными, либо непрерывными, которые описы-ваются различными законами распределения. Дискретными называются такие случайные величи-ны, которые можно заранее перечислить. Например, число дефектных единиц продукции или чис-ло дефектов. Непрерывными называются случайные величины, возможные значения которых не-прерывно заполняют некоторый промежуток. Примером непрерывной случайной величины явля-ется любая измеряемая величина, например, размер детали.
В теории вероятностей рассматривается достаточно большое количество разнообразных за-конов распределения. Для решения задач, связанных с построением контрольных диаграмм (конт-рольных карт), представляют интерес лишь некоторые из них. Важнейшим из них является нор-мальный закон распределения, который применяется для построения контрольных диаграмм (контрольных карт), используемых при контроле по количественному признаку, т.е. когда мы име-ем дело с непрерывной случайной величиной. Нормальный закон распределения занимает среди других законов распределения особое положение. Это объясняется тем, что, во-первых, наиболее часто встречается на практике, и, во-вторых, он является предельным законом, к которому при-ближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Что касается второго обстоятельства, то в теории вероятностей доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), при-ближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количес-тво случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных вели-чин, таких, например, как ошибки измерений, могут быть представлены как сумма весьма больше-го числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана дей-ствием отдельной причины, независящей от остальных.
В графической форме нормальный закон распределения изображается колоколообразной кривой (рис. 5).
Рисунок 5. Кривая нормального закона распределения
Этой кривой определяется функция плотности вероятности (ФПВ) – плотность вероятности f(х) значений случайной величины X.
Кривая нормального распределения характеризуется двумя параметрами: μ и σ, где μ – математическое ожидание случайной величины, а σ – среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Смысл этих параметров состоит в следующем. Значением μ определяется центр рас-сеивания – если изменять центр рассеивания, кривая распределения будет смещаться вдоль оси аб-сцисс, не изменяя своей формы (рис. 6). Таким образом, значением μ определяется положение кри-вой распределения на оси абсцисс. Размерность μ такая же, что и размерность случайной вели-чины X.
Рисунок 6. Вид кривых нормального закона распределения при изменении центра рассеивания
Значением σ определяется форма кривой распределения. Поскольку площадь под кривой распределения должна всегда оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая распределе-ния становится более плоской. На рис. 7 показаны три кривые при разных σ: σ1 = 0.5, σ2 = 1.0 и
σ3 = 2.0.
Рисунок 7. Вид кривых нормального закона распределения при изменении характеристики рассеивания
Таким образом, значением σ определяется форма кривой распределения – это есть характе-ристика рассеивания. Размерность параметра σ совпадает с размерностью случайной величины X.
Для демонстрации взаимосвязи между μ и σ функции ФПВ выполните перечисленные ниже действия:
найдите в каталоге Учебные пособия (Explore) файл Распределения.xls (Distributions.xls) и откройте его;
выберите раздел Нормальное распределение (Normal). В правой части
книги появится показанная на рис. 8 диаграмма с кратким описанием
и несколькими элементами управления.
Рисунок 8. Пример нормального распределения
В исходном состоянии в разделе Нормальное распределение указано значение 0 для пара-метра μ и значение 1 для параметра σ. Нормальное распределение с такими значениями парамет-ров называется стандартным нормальным распределением. Попробуйте изменить значения пара-метров μ и σ и по завершению демонстрации закройте учебное пособие Распределения.xls (Distributions.xls) без сохранения изменений.
В нормальном распределении около 68,3% значений лежат в области 1σ или одного стан-дартного отклонения от среднего μ, около 95,4% – в области 2σ или двух стандартных отклонений от среднего μ, более 99% – в области 3σ или трех стандартных отклонений от среднего μ (рис. 9).
В статистических исследованиях очень часто используют данные, которые удовлетворяют нормальному распределению, а потому эти значения играют крайне важную роль. Например, для быстрой оценки диапазона, в котором находится большинство данных, можно использовать об-ласть двух стандартных отклонений от среднего.
Рисунок 9. Расположение данных в нормальном распределении
Постройте гистограмму самостоятельно. Для построения гистограммы данных о среднем уровне длины прутков, которые нарезает рабочий в заданный размер, выполните следующие дей-ствия:
найдите и откройте рабочую книгу Арматура.xls (Rod.xls), которая
находится в каталоге Примеры (Student);
выберите команду Файл → Сохранить как и сохраните рабочую книгу
в файле Арматура2.xls (Rod2.xls).
После этого рабочая книга будет выглядеть так, как на рис. 10.
Рисунок 10. Рабочая книга Арматура2.xls (Rod2.xls)
Для создания гистограммы данных о среднем уровне длины прутков выполните перечис-ленные ниже действия:
выберите команду меню StatPlus → Single Variable Charts → Histograms
(Диаграммы одной переменной → Гистограммы);
в диалоговом окне Create Histogram (Создать гистограмму) щелкните на
кнопке Data Values (Значения данных), затем в диалоговом окне Input
Options (Входные параметры) выберите переключатель Use Range Names
(Диапазон данных) и выберите элемент Пруток1. Щелкните на кнопке ОК;
установите флажок Normal curve (Нормальная кривая);
щелкните на кнопке Output (Выход), в диалоговом окне Chart Output
Options (Выходные параметры) выберите переключатель As a new chart
sheet (Имя нового листа) и введите заголовок Гистограмма в текстовом
поле справа. Щелкните на кнопке ОК.
На рис. 11 показан окончательный вид диалогового окна Create Histogram.
Рисунок 11. Диалоговое окно Create Histogram
В диалоговом окне Create Histogram щелкните на кнопке ОК для получения результатов, которые показаны на рис. 12.
Рисунок 12. Гистограмма данных о среднем уровне длины прутков
Эта гистограмма не совсем строго соответствует кривой нормального распределения, но со-гласно теории вероятностей нормального распределения, при увеличении размера выборки рас-пределение значений все более точно соответствует кривой нормального распределения.
Завершив работу с книгой Арматура2.xls (Rod2.xls), закройте ее и сохраните полученные результаты.
Количественные данные представляют собой наблюдения, полученные с помощью измере-ния и записи значений некоторой характеристики для каждой единицы, рассматриваемой в под-группе, например длина в метрах, сопротивление в омах, шум в децибелах и т.д.
Карты для количественных данных, и особенно простейшие из них ( – карты и r – карты), – это классические контрольные карты, применяемые для управления процессами. Контрольные карты для количественных данных имеют следующие преимущества:
большинство процессов и их продукция на выходе имеют характеристики,
которые могут быть измерены, так что применимость таких карт потенциально
широка;
измеренное значение содержит больше информации, чем простое утверждение
«да – нет»;
характеристики процесса могут быть проанализированы безотносительно установленных требований. Карты запускаются вместе с процессом и дают независимую картину того, на что процесс способен. После этого характеристики процесса можно сравнивать или нет с установленными требованиями;
хотя получение количественных данных дороже, чем альтернативных, объемы подгрупп для количественных данных почти всегда гораздо меньше и при этом намного эффективнее. Это позволяет в некоторых случаях снизить общую стоимость контроля и уменьшить временной разрыв между производством продукции и корректирующим воздействием.
При контроле по количественному признаку используют следующие виды карт:
средних арифметических значений ( – карта);
медиан (xmed – карта);
среднеквадратических отклонений (s – карта);
размахов (r – карта).