Коэффициенты aj отражают степень нашего доверия к оценкам среднего
арифметического |
xj |
|
|
в каждой группе. |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a j 1 |
|
|
|||||||||||||
Коэффициенты aj - весовые коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a : a : ...: a |
|
|
1 |
: |
|
|
1 |
|
|
: ...: |
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 2 |
m |
|
|
D(x1) D(x2 ) |
|
|
|
|
D(xm ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
D(xj ) x j 2 Sx j 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a j 1 |
|
: 1 |
|
|
1 2 |
: 1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(x j ) j 1 D(x j ) |
|
|
Sx j |
|
|
j 1 Sx j |
|
|
|
|
|
|||||||||
m |
|
|
Оценка СКО , т.е. СКП : Sx aj |
2 Sx j |
2 |
j 1 |
|
|
Sx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
m |
|
|
|
j 1 Sx j
t Sx
Коэффициенты t определяются из таблицы для распределения Стьюдента.
При этом предварительно определяется число степеней свободы (n-1) распределения Стьюдента по формуле:
(n 1) |
|
|
m2 |
|||
m |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
nj 1 |
|||||
m – число групп наблюдений
nj - число наблюдений в j-й группе.
Определение случайных погрешностей при косвенных измерениях
Q f x1, x2 , x3 ,....xm
Q - искомая величина,
xi - величины, значения которых определяются прямым измерением.
За результат косвенного измерения принимается величина, вычисляемая при подстановке в формулу для Q средних арифметических значений xi .
Q f x1, x2 , x3 ,....xm
Общий прием - определение частных производных:
Q f (x1, x2...xm )
xi xi
веса, с которыми в суммарную абсолютную погрешность Q входят составляющие в виде абсолютных погрешностей измерения каждого из xi .
• Составляющая абсолютной погрешности iQ , возникающая из-за абсолютной погрешности xi равна:
|
|
Q |
|
x |
|
|
|
||
Q |
x |
|
||
i |
|
i |
||
|
|
i |
|
|
• Если известны СКП Si для отдельных xi, то соответствующие составляющие СКП результирующей погрешности:
|
|
|
|
ˆ |
|
f |
|
|
Q |
|
|
ˆ |
|||
SiQ |
|
Si |
Ξ |
Exi |
|
||
xi |
xi |
xi |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Частная погрешность косвенного измерения
СКП функции нескольких переменных:
• если погрешности xi независимы и случайны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
m |
ˆ 2 |
Ξ |
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
SQ SiQ |
|
|
|||||||
SQ Q |
Exi |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СКП функции нескольких переменных:
•если между погрешностями измерения величин xi и xj имеется корреляция:
ˆ |
|
m |
ˆ |
2 |
m |
ˆ |
2 |
ˆ |
2 |
ˆ |
|
Exi |
|
Exi |
|
Ex j |
|
Rij |
|||
SQ Q |
|
|
|
|||||||
|
|
i 1 |
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
m f |
2 |
ˆ |
2 |
m f |
|
|
f |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rij |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
SQ Q |
|
|
|
xi |
|
|
xi |
x j |
||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
xi |
|
|
i, j 1 xi |
|
xj |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные вычисляются при: |
xi xi |
xj xj |
|
Rij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
Оценка коэффициента корреляции между |
|
|
|
|||||
|
|
|
погрешностями измерения величин xi и xj |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
Rij |
0 положительная корреляция |
|||||
1 R |
1 |
|
ˆ |
||||||||
|
ˆ |
0 отрицательная корреляция |
|||||||||
|
|
ij |
|
|
Rij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= 0 нет корреляции |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Rij |
|
|
|
|||
ˆ |
|
|
1 |
|
|
|
n |
xik xi xjk |
xj |
|
|
Rij |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
||||
n |
1 xi |
|
|
|
|
||||||
|
|
x j |
k 1 |
|
|
|
|
||||
n – наименьшее из числа наблюдений xik и xjk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
t SQ |
Ξ |
|
|
|
|||
t Q |
|||||||
|
|
|
|
|
m |
ˆ |
|
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
( при n 30 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Exi |
xi |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(n 1)эф |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
1 |
|
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exi |
xi |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
|
f |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
xi |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Exi |
xi |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
xi |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|