Случайные погрешности результатов измерений Обработка результатов измерений (продолжение)
Для независимых прямых равноточных измерений, подчиненных центрированному симметричному закону распределения вероятности,
среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения измеряемой величины.
Q 1 n Q
n i 1 i
Для нормального закона распределения оценку СКО отдельных результатов измерений в серии из n независимых равноточных измерений вычисляют по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
^ |
||||
S |
|
|
(Qi |
|
)2 |
σx |
|||
|
|
Q |
|||||||
(n |
1) |
||||||||
|
|
i 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S- средняя квадратическая погрешность (СКП) результатов единичных показаний в ряду измерений
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
^ |
|
||
S |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
СКП среднего арифметического в n раз меньше, чем СКП результата единичного измерения.
При этом если результаты единичного измерения подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то и среднее арифметическое подчиняется нормальному закону с тем же математическим ожиданием.
f(Q)
1
x 
2
Q1 |
Q |
Q2 |
Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения вероятности, по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют
квантилями.
Площадь под кривой, ограниченная квантилями Q1 и Q2 , есть
вероятность того, что значение случайной величины Q находится в интервале [Q1, Q2].
Такой интервал называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.
Q1 |
- t S |
Q |
+ t S |
Q2 |
||
|
|
|
|
|||
ן |
|
|
ן |
|
|
ן |
Границы доверительного интервала принято указывать симметрично относительно среднего арифметического значения, а половину доверительного интервала устанавливать кратной СКП (t·S) и принимать за оценку случайной погрешности результата измерения.
Применяется также термин «доверительные границы случайной погрешности». Доверительные границы случайной погрешности находят по формуле:
= t S
где t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и формы закона распределения.
Квантили, ограничивающие доверительный интервал, могут быть выбраны любыми, поэтому при интервальном оценивании случайной погрешности необходимо указывать
значение принятой доверительной вероятности.
В целях единообразия интервальных оценок случайных погрешностей при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной Р=0,95.
Если измерение нельзя повторить, ГОСТ 8.207 76 допускает принимать Р=0,99.
Если сравнить значения t, рассчитанные для разных распределений, то при Р 0,85 значения t
максимальны для нормального распределения.
Поэтому при неизвестной функции распределения
(или при невозможности проверки принадлежности результатов наблюдения к нормальному распределению) рекомендуется распределение считать нормальным, т.к. надежность оценки погрешности повышается.
Критерий грубых погрешностей
При числе наблюдений n 30 и вероятности Р=0,9973 для нормального распределения t = 3, т.е. с вероятностью 0,9973 все случайные значения измеряемой величины попадают в интервал 3 .
Если отклонение результата наблюдения Qi от среднего арифметического Q составляет больше 3σ,
Qi – Q 3σ
→ такое наблюдение содержит грубую погрешность, и должно быть исключено при обработке результатов измерений.
Определение случайных погрешностей при неравноточных измерениях
Дано: m групп независимых наблюдений одной и той же величины
Вычислены средние арифметические значения и оценки СКО:
x1, x2 ,.....xm |
x |
, x |
,....., x |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
1 |
2 |
|
m |
|
|
Sx |
, Sx |
,....., Sx |
m |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
За результат измерения принимается оценка измеряемой величины по данным всех групп наблюдений.
Эта оценка называется средним взвешенным:
m
x aj xj
j 1