13. Определение интеграла от функции комплексного переменного и его свойства.
Пусть
на плоскости
задана кусочно-гладкая кривая
.
Используя параметрическое представление
кривой
,
зададим текущие координаты ее точек
уравнениями
,
где действительный параметр
.
Такое задание координат точек кривой
эквивалентно заданию комплексной
функции
действительного переменного
.
Пусть
в каждой точке
кривой
определено значение функции
.
Введем понятие интеграла от функции
по кривой
.
Для этого разобьем кривую
на
частичных дуг точками деления
,
соответственно возрастающим значениям
параметра
.
Обозначим
.
Интегралом от функции
по кривой
называют
,
(1)
где
– произвольная точка
-ой
частичной дуги. Этот предел не зависит
ни от способа разбиения кривой
,
ни от выбора точек
.
Вопрос
существования интеграла (1) сводится к
вопросу о существовании криволинейных
интегралов второго рода от действительной
и мнимой частей функции
.
Подставим в интегральную сумму выражения
(1)
,
,
где
– точка кривой
на плоскости
.
Тогда
.
(2)
Заметим, что интеграл (1) существует и в случае неаналитической функции , если эта функция является кусочно-непрерывной.
Приведем основные свойства интеграла от комплексных функций.
1°.
Линейность. Если
функции
и
непрерывны на кривой , то для любых
комплексных постоянных
и
.
(3)
2°. Аддитивность:
.
(4)
3°. Ориентированность:
.
(5)
4°. Замена переменной интегрирования:
,
(6)
где
– аналитическая функция
,
устанавливающая взаимно-однозначное
соответствие между кривыми
и
.
В частности,
,
(7)
где
– параметрическое задание кривой
,
и
– ее начальная и конечная точки.
5°. Оценка интеграла по модулю:
,
(8)
где
– дифференциал длины кривой
,
а интеграл, стоящий справа, является
криволинейным интегралом первого рода.
Если
и
– длина кривой
,то
.
(9)
Пример. Вычислим интеграл
,
(10)
где
– окружность радиуса
с центром в точке
,
обходимую против часовой стрелки.
Зададим
параметрически:
.
Тогда
.
(11)
Из формулы (11) следует, что интеграл (10) не зависит ни от , ни от .
В дальнейшем будем рассматривать интегралы от функций, аналитических в некоторой области, причем в основном будет интересовать тот случай, когда границей области является кусочно-гладкая кривая, не имеющая самопересечений. Если такая кривая замкнута, то интеграл (1) по замкнутому контуру называется контурным интегралом.