23. Нули аналитической функции. Теорема единственности. Следствия.

24. Ряд Лорана. Область сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

Пусть функция является однозначной аналитической функцией внутри кольца между концентрическими окружностями и с центром в точке .

Ряд вида

, где коэффициенты определяются по формуле

, (4)

– любая окружность с центром в точке , расположенная в , называется рядом Лорана.

.

Ряд называется правильной частью ряда Лорана.

Ряд называется главной частью ряда Лорана.

Правильная часть ряда Лорана – это степенной ряд, который сходится внутри круга .

Для определения области сходимости главной части можно сделать замену переменной . Тогда этот ряд примет вид , то есть это степенной ряд, который сходится внутри некоторого круга радиуса .

Тогда, возвращаясь к старой переменной, получим, что главная часть ряда Лорана сходится при .

Если , то существует общая область – круговое кольцо в котором ряд Лорана сходится. Если , то правильная и главная части ряда Лорана общей области сходимости не имеют, и ряд Лорана не сходится к какой-либо функции.

При практическом разложении функции формулой (1) для вычисления коэффициентов ряда Лорана пользуются редко (ввиду сложности её применения).

1. Если дробно-рациональная функция, то её можно представить в виде суммы простейших дробей вида и ( целое), – комплексные числа. Простейшая дробь разлагается в ряд, являющийся геометрической прогрессией, а дробь – в ряд, полученный дифференцированием прогрессии ( ) раз.

2. При разложении в ряд Лорана иррациональных и трансцендентных функций можно использовать разложения в ряд Тейлора функций биноминальный рад и другие.

Пример 1. Найти все лорановские разложения функции по степеням .

Функция имеет две особые точки и . Следовательно, имеется три круговых кольца с центром в точке , в каждом из которых аналитическая функция: 1) 2) 3) .

Замечание. Количество колец зависит от выбора точки и количества особых точек функции .

.

1. .

Ряд сходится, если модуль знаменателя прогрессии

(5)

. (6)

Ряд сходится, если .

Складывая полученные ряды, получим для

,

то есть .

Полученное разложение является рядом Тейлора.

2. .

Ряд (1) сходится, так как , а ряд (2) расходится, так как . Заменим ряд (2) следующим:

.

Ряд сходится, если . Складывая полученный ряд с рядом (5) получим:

.

3. . Ряд (5) при этом условии расходится, поэтому заменим его следующим образом:

.

Этот ряд сходится, если .

Складывая ряды, получим:

,

– разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 2. Разложить в ряд Лорана в окрестности точки функцию .

.

.

Область (кольцо) сходимости ряда .