39. Изображение элементарных функций: единичная функция Хевисайда, показательная и степенная функции.

Рассмотрим функцию – единичная функция Хевисайда. Эта функция является оригиналом. Для неё

.

Интеграл сходится только в случае, когда при .

.

Таким образом, интеграл Лапласа сходится при .

В дальнейшем нас будет интересовать само выражение , а не область, в которой оно выражается интегралом Лапласа. Мы должны быть уверены только в одном: в какой-то полуплоскости (безразлично какой) интеграл Лапласа сходится абсолютно.

Так как всякий оригинал равен нулю при , то для простоты принято писать , и тогда . Аналогично в дальнейшем записываются изображения для функций и так далее.

Найдем изображение , где комплексное число.

,

если при . Последнее имеет место при или . Таким образом . Аналогично получим при .

40. Свойства преобразования Лапласа: свойство линейности, теоремы подобия, смещения и запаздывания. Теорема умножения (изображение свертки).

1. Теорема линейности.

Пусть , . Тогда

,

где и действительные или комплексные постоянные.

.

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Пример применения теоремы.

, .

,

.

Аналогично можно получить изображения

, .

2. Теорема подобия.

Для любого постоянного

.

В интеграле сделаем замену переменной .

Пример. Пусть известно изображение .

Найдем изображение .

3. Теорема смещения (затухания).

Для любого действительного или комплексного числа

.

.

Аналогично .

Пример применения теоремы.

.

4. Теорема запаздывания.

Для любого постоянного .

.

В интеграле сделаем подстановку . При этом нижний предел

интегрирования станет равным нулю.

.

На этой теореме основано нахождение изображений многих функций и, в частности, функций, описывающих импульсные процессы.

Пример 1. Применим теорему запаздывания к построению изображения единичного импульса , действующего в течение времени .

Запишем аналитическое выражение функции , используя единичную функцию Хевисайда . Применяя теорему линейности и запаздывания, получим

.

Если импульс начинается не в момент времени , а в некоторый момент , то его изображение .

Пример 2. Найти изображение функции , заданной графически

Запишем аналитическое выражение функции , используя функцию Хевисайда

.

Используя теоремы линейности и запаздывания, получим

.

Пусть функция , периодическая с периодом , и является оригиналом. Найдем её изображение. Рассмотрим вспомогательную функцию Обозначим изображение .

Функцию можно представить в виде

.

Используя теорему запаздывания, получим

.

Принимая во внимание, что в скобках записана сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем , получим

, где .

Интеграл вычисляется в пределах от 0 до , так как вне этого интервала .

Пример 3. Найти изображение функции .

Эта функция является периодической при с периодом . Предварительно найдём изображение функции Чтобы получить импульс в виде одной полуволны синусоиды , нужно сложить два оригинала, один из которых , а другой – та же синусоида, запаздывающая на .

.

Тогда

.

5. Теорема дифференцирования по параметру.

Пусть функция при каждом фиксированном значении является оригиналом и ей соответствует изображение

.

Предположим, что выполнены все условия, при соблюдении которых интеграл в правой части равенства, рассматриваемый как функция параметра , можно дифференцировать по этому параметру. Тогда

.

Это свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если при любом значении оригиналу соответствует изображение то

.

Пример 1. . Здесь параметром является . Дифференцируя левую и правую части по этому параметру, получим

… ,

где – гамма-функция ( ).

При получим

, , … , .

Пример 2. . Параметром является . Дифференцируя по параметру , получим

.

Аналогично

, .

1. Свёртка функций. Теорема умножения изображений.

Свёрткой функций и называется функция , определяемая по формуле

.

Свёртка обозначается . Покажем, что свёртка обладает свойством симметрии (коммутативности), то есть .

.

В интеграле сделаем замену переменной .

Пример 1. Найдём свёртку функций и .

.

Пример 2.

.

.

Теорема умножения изображений

Если и , то свёртке функций соответствует произведение изображений .

.

Будем рассматривать интеграл Лапласа, как двойной интеграл по области , в котором изменим порядок интегрирования. Тогда

.

Во внутреннем интеграле сделаем замену переменной интегрирования .

.

Пример. .

Замечание. Полученная формула может быть использована для нахождения оригинала по заданному изображению в случае, когда заданное изображение может быть представлено в виде произведения сомножителей, для которых оригиналы известны.