44. Первая теорема разложения (случай регулярной на бесконечности функции).
45. Вторая теорема разложения. Определение оригинала для дробно-рациональной функции.
46. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом.
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
.
Найдём
его частное решение при начальных
условиях
.
Операционный
метод решения этой задачи состоит в
том, что искомую функцию
и правую часть
считают оригиналами и переходят от
уравнения, связывающего оригиналы, к
уравнению, связывающему их изображения
и
.
Воспользуемся теоремой о дифференцировании
оригинала:
,
.
Применяя теорему линейности, перейдём от оригиналов к их изображениям
.
В результате получили не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения . Решая его, получим
.
По известному изображению можно найти соответствующий ему оригинал , который является искомым решением.
Операторное решение имеет простой вид при нулевых начальных условиях
.
Замечание 1. Рассмотренный метод применим к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка, а также в случаях, когда правая часть уравнения на различных интервалах задается разными аналитическими выражениями и имеет точки разрыва первого рода.
Замечание 2. При практическом решении нет необходимости пользоваться готовыми формулами. Нужно только знать и использовать метод их получения.
Замечание
3.
Если считать начальные условия
не заданными, а произвольными постоянными,
то получим не частное решение, а общее.
Пример. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее
начальным условиям
.
Полагая
и найдя изображение правой части
записываем операторное уравнение
.
Его
решение
.
Функция
имеет полюсы первого порядка
.
.
.
Операционный метод решения линейного дифференциального уравнения без каких-либо изменений можно перенести на решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, как однородных, так и неоднородных. Поэтому рассмотрим на конкретном примере решение системы дифференциальных уравнений.
Пример. Найти решение системы дифференциальных уравнений
при
начальных условиях
.
Обозначим
,
.
Система операторных уравнений примет
вид
,
.
После
преобразования получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно
неизвестных изображений
и
Решаем эту систему методом Крамера:
.
; 
.
Возвращаясь к оригиналам, получим
, 
.
Замечание. Операционный метод можно использовать для решения систем уравнений с производными высших порядков.
47. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на основе формулы Дюамеля.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
.
Начальные условия для простоты будем считать нулевыми:
.
Смысл
применения теоремы умножения заключается
в том, что, если известно решение уравнения
(1) при какой-то одной правой части, то с
помощью свёртки можно найти решение
при любой другой правой части. Особенно
удобно начинать со случая, когда правая
часть
.
Соответствующее решение обозначим
,
а его изображение
.
Операторное уравнение при тех же нулевых
начальных условиях примет вид
или
,
где
– характеристический многочлен.
.
Возьмём
теперь уравнение с любой правой частью
.
Операторное уравнение в этом случае
имеет вид
.
Из этого уравнения находим
.
Подставляя выражение для
,
получим
.
Используя
интеграл Дюамеля и учитывая, что
,
получим
или
.
Выбор формулы для получения решения зависит от конкретного вида функций и .
Важность
полученного результата состоит в том,
что для получения решения не надо
находить изображение
правой части
дифференциального уравнения. Зная
решение при единичной правой части
,
при помощи интегрирования можно найти
решение при любой другой правой части
.
Полученные формулы имеют большое
значение для расчёта электрических
цепей.
Пример.
Найти решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Нахождение изображения правой части уравнения весьма сложно. Поэтому используем рассмотренный метод. Запишем вспомогательное уравнение с теми же начальными условиями
,
.
В
операторной форме уравнение имеет вид
.
Откуда
.
Находим оригинал
.
Тогда
.
Вычислим интеграл
.
Таким
образом,
.
Замечание. Операционный метод может быть использован не только для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но и некоторых дифференциальных уравнений с частными производными – уравнений математической физики, а также для решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений.