3. Топология комплексной плоскости.

Введем на множествах Z и топологии, соответствующие метрикам. Это делается путем указания системы окрестностей.

Под -окрестностью точки будем понимать круг радиуса с центром в этой точке: . Под -окрестностью точки будем понимать совокупность точек , для которых .

Из формулы следует, что неравенство равносильно неравенству , то есть -окрестности бесконечной точки на плоскости соответствует внешность круга с центром в начале координат.

Множество (или ) называется открытым, если . Введение понятия открытости превращает Z и в топологические пространства.

В некоторых случаях удобно пользоваться проколотыми окрестностями, под которыми на Z и соответственно понимаются множества точек , удовлетворяющих неравенствам

Рассмотрим основные топологические понятия.

Точка (соответственно ) называется предельной точкой множества (соответственно ), если в любой проколотой окрестности найдется по крайней мере одна точка из . Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Множество, получающееся присоединением к всех его предельных точек, называется замыканием и обозначается символом .

Принцип компактности: в любое бесконечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

В Z принцип компактности не имеет места, однако, он верен для бесконечных ограниченных множеств, то есть множеств лежащих в каком-либо круге . Такие множества называются компактными.

Последовательностью будем называть отображение в Z (или ) множества целых неотрицательных чисел: (или ). Точку (или ) будем называть предельной точкой последовательности , если в любой окрестности найдется бесконечно много элементов этой последовательности. Последовательность , имеющая в единственную предельную точку , будем называть сходящейся к , что записывается в виде .

Справедливы следующие утверждения:

Необходимым и достаточным условием сходимости последовательности является сходимость последовательностей действительных чисел и .

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Критерий Коши. Последовательность сходится тогда и только тогда, если

4. Понятие области на комплексной плоскости. Линия Жордана. Односвязные и многосвязные области.

Точка называется внутренней точкой множества (или ), если и ее любая -окрестность .

Областью называется множество точек или , удовлетворяющее следующим двум условиям:

• состоит из одних внутренних точек (открытость);

• для любых двух точек из существует лежащая в линия, соединяющая эти точки (связность).

Точки , не принадлежащие , но являющиеся предельными для ее точек, называются граничными точками . Совокупность всех граничных точек называется границей этой области и обозначается символом . совпадает с замыканием . Точки множества называются внешними точками.

Определим понятие непрерывной линии в смысле Жордана. Пусть и – действительные непрерывные функции переменного . Уравнения задают параметрическое изображение непрерывной линии. Пусть эта линия не имеет кратных точек, то есть различным значениям аргумента соответствуют различные точки линии. Такая непрерывная и взаимно однозначная линия называется линией Жордана или просто непрерывной линией.

Если , то ее аналитическое изображение можно записать с помощью одного уравнения: . При возрастании параметра на отрезке точка я описывает линию Жордана, началом которой служит точка , а концом – ; тем самым на линии устанавливается положительное направление.

Геометрически линия Жордана – непрерывное и взаимно однозначное отображение отрезка на комплексную плоскость: Если , то она называется замкнутой. Замкнутая линия делит плоскость на две области. Одна область не содержит бесконечно удаленную точку и называется внутренней по отношению к данной линии. Другая область содержит бесконечно удаленную точку и называется внешней по отношению к данной линии. Для этих областей данная линия является границей. Положительное направление на линии выбирается так, что внутренняя часть кривой лежит слева от точки , движущейся в этом направлении.

Будем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек. Линии и разрезы, входящие в состав границы будем предполагать кусочно-гладкими, то есть состоящими из конечного числа дуг с непрерывно изменяющейся касательной. В случае ограниченной области число связных частей, на которые разбивается ее граница, называется порядком связности этой области. В частности, если граница области связна, то называется односвязной областью (рис. 1, A и B – кратные точки), в противном случае – многосвязной (рис. 2 – пример пятисвязной области).