5. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции.

Говорят, что на множестве задана функция , если задан закон, по которому каждой точке ставится в соответствие комплексное число :

или . (1)

Согласно этому определению всякая функция однозначна. Многозначные функции, для которых каждой точке ставится в соответствие несколько комплексных чисел, рассмотрим позже. Функция называется взаимно однозначной или однолистной, если она преобразует различные точки в различные:

Задание равносильно заданию двух действительных функций и : . Функция называется действительной, а – мнимой частью функции : .

Пусть функция определена в проколотой окрестности точки ; говорят, что число является ее пределом при , если для любой окрестности найдется такая проколотая окрестность , что для всех :

. (2)

Эквивалентное определение:

(3)

Для положим . Тогда равенство (2) равносильно двум действительным равенствам

(4)

Запишем равенство (2) в полярных координатах

.

В комплексный анализ автоматически переносятся элементарные теоремы о пределах функции в точке.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной точке , если существует предел . (5)

В комплексный анализ автоматически переносятся элементарные теоремы о функциях, непрерывных в точке.

Функция называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

6.Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции в точке и области.

Пусть функция определена и конечна в некоторой окрестности точки . Будем говорить, что дифференцируема в точке в смысле действительного анализа (в смысле Функция ), если функции и дифференцируемы в точке . Дифференциалом в точке называется выражение

, (6)

которое можно переписать в виде

. (7)

Здесь и . Рассмотрим сопряженные переменные и . Отсюда , . Подставляя в (7), после перегруппировки членов получим

, (8)

где введены обозначения

, (9)

. (10)

Функция называется дифференцируемой в точке Функция называется в смысле комплексного анализа (в смысле ), если она дифференцируема в смысле и ее дифференциал пропорционален , то есть в точке

. (11)

Условие (11) называется условием комплексной дифференцируемости. Формулы (9) и (10) позволяют переписать это условие в виде двух действительных равенств, которые называются условиями Коши-Римана:

(12)

Перейдем теперь к рассмотрению производной функции комплексного переменного. Если дифференцируема в точке в смысле , то ее приращение в этой точке можно представить в виде

, (13)

где , , – малая высшего порядка относительно . Полагая , получаем и из (13) находим

, (14)

где , .

Для существования необходимо, чтобы существовал . Тогда из формулы(14) получаем производную по направлению

. (15)

Геометрическим местом (годографом) производных по направлению в данной точке является окружность с центром и радиусом . Если же дифференцируема в точке в смысле , то есть , то эта окружность вырождается в точку и производные по всем направлениям совпадают. Таким образом, производной функции в точке называется

, (16)

если он существует.

Из сказанного выше следует, что дифференцируемость в смысле равносильна существованию производной. Так как не зависит от направления, то ее можно вычислять, например, в направлении оси . Тогда

.

Элементарные правила дифференцирования из действительного анализа без всяких изменений переносятся в комплексный анализ.

Функция называется аналитической (голоморфной) в точке , если она дифференцируема в смысле в точке и некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области , если она аналитична в каждой точке этой области. Под голоморфностью функции в бесконечно удаленной точке понимается голоморфность функции в точке . Это определение позволяет рассматривать функции, голоморфные в замкнутой плоскости .