41. Свойства преобразования Лапласа: теоремы дифференцирования оригинала и изображения.

1. Теорема дифференцирования по параметру.

Пусть функция при каждом фиксированном значении является оригиналом и ей соответствует изображение

.

Предположим, что выполнены все условия, при соблюдении которых интеграл в правой части равенства, рассматриваемый как функция параметра , можно дифференцировать по этому параметру. Тогда

.

Это свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если при любом значении оригиналу соответствует изображение то

.

Пример 1. . Здесь параметром является . Дифференцируя левую и правую части по этому параметру, получим

… ,

где – гамма-функция ( ).

При получим

, , … , .

Пример 2. . Параметром является . Дифференцируя по параметру , получим

.

Аналогично

, .

2. Теорема дифференцирования оригинала

Если , то .

В случае, когда точка является точкой разрыва первого рода под следует понимать предел функции при справа, то есть . Аналогично в дальнейшем под понимается правое предельное значение .

Для доказательства теоремы запишем преобразование Лапласа для производной :

.

Интегрируя по частям, получим: и

.

По условию 3 ограниченности роста интеграла поэтому если , то при и от первого слагаемого остается .

Применяя теорему повторно, получим

.

Рассуждая аналогично, получим

.

В случае, когда

,

то есть при нулевых начальных значениях оригинала и его производных до ‑го порядка -кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на его изображения.

Пример 1. . .

Пример 2. . .

1. Теорема дифференцирования изображения.

Дифференцированию изображения соответствует умножению на оригинала

.

. Так как является аналитической функцией в полуплоскости , то её можно дифференцировать по . Несобственный интеграл в правой части равенства зависит от параметра , поэтому производную по можно вычислить, дифференцируя подынтегральную функцию по параметру. Тогда

.

Последовательно применяя теорему несколько раз, можно найти оригиналы производных высших порядков изображения

… , .

Замечание. Умножение функции на любую степенную функцию не меняет её степени роста.

Пример 1. Используя рассмотренное свойство, найдем изображение .

. Применяя свойство линейности, получим .

Аналогично , то есть . В общем случае .

Пример 2. .

. Аналогично .

42. Свойства преобразования Лапласа: теоремы интегрирования оригинала и изображения.

1. Теорема интегрирования оригинала.

Если и , то , то есть интегрирование оригинала соответствует делению изображения на .

Функция удовлетворяет всем условиям существования изображения, причём функция имеет тот же показатель степени роста , что и .

Обозначим .

Применяя теорему дифференцирования оригинала, получим

. Но . Тогда и . Откуда .

Пример. .

1. Теорема интегрирования изображения.

Если интеграл сходится, то

,

то есть интегрированию изображения от до соответствует деление на оригинала. При этом предполагается, что весь путь интегрирования от до полностью лежит в полуплоскости и ограничена при .

.

Изменив порядок интегрирования, получим при условии

.

.

Пример применения теоремы.

.

Таким образом, .

Используя полученный результат, можно найти изображение функции интегральный синус .

Из теорем дифференцирования и интегрирования оригинала следует, что более сложным действиям над оригиналами (дифференцированию и интегрированию) соответствуют более простые действия над их изображениями (умножение и деление на ).