1. Комплексные числа и действия над ними. Поле комплексных чисел

Рассмотрим множество Z упорядоченных пар действительных чисел или, что то же самое, точек плоскости или свободных плоских векторов:

.

На множестве Z введем операции сложения и умножения на действительное число (скаляр) (так же, как в векторном исчислении), превращающие Z в поле. После этого можно представить каждый элемент z ϵ Z

в алгебраической(декартовой) форме: , (1)

где через 1 и обозначены единичные векторы (орты) соответственно осей и (обозначение первого орта опускается).

Тогда множество Z называется полем комплексных чисел, а его элементы – комплексными числами. Числа и соответственно называются действительной и мнимой частью числа и обозначаются символами .

Числа называются мнимыми.

Комплексные числа и называются сопряженными.

По определению полагают .

Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме.

• Сложение:

• Вычитание (определяется через операцию сложения):

• Умножение:

• Деление (определяется через операцию умножения):

Если обозначить , то

Для выполнения операций умножения, деления, а также возведения в степень и извлечения корня удобнее перейти к полярной системе координат .

Полярный радиус и полярный угол , то есть угол между положительным направлением оси и вектором , называются его модулем и аргументом и обозначаются

Модуль определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, кратного .

Обозначим через значение аргумента, заключенного в пределах , где – произвольное фиксированное число. Для определенности положим . Тогда ( ), причем

Так как , то (2)

Представление в виде (2) называется его тригонометрической формой.

Используя формулу Эйлера , (3)

получим показательную форму комплексного числа . (4)

Операции умножения и деления, а также возведения в степень и извлечения корня в тригонометрической и показательной формах выполняются следующим образом.

• Умножение:

• Деление:

• Возведение в степень:

.

Отсюда получаем формулу Муавра:

Извлечение корня. Корень -й степени из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле

где

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

2. Замкнутая комплексная плоскость. Стереографическая проекция. Сфера Римана. Метрическое пространство комплексных чисел.

Введем понятие замкнутой комплексной плоскости , состоящей из открытой плоскости и единственной бесконечно удаленной точки .

Для геометрической интерпретации числа рассмотрим сферу

или ,

касающуюся плоскости в начале координат. Каждой точке поставим в соответствие точку пересечения с луча, соединяющего «северный полюс» сферы с точкой . Такое соответствие называется стереографической проекцией.

Так как три точки , , лежат на одной, то их координаты удовлетворяют соотношениям

.

Из этих равенств выразим и через : или . (5)

Для получения обратных формул заметим, что , откуда . Зная , из формул (5) найдем и :

Условимся считать, что соответствует бесконечной точке . Будем отождествлять комплексную плоскость со сферой , которая называется сферой комплексных чисел или сферой Римана. Открытую плоскость можно отождествить с – сферой с выколотой точкой (очевидно, что точке не соответствует ни одной точки .

Введем на метрику двумя способами в соответствии с двумя способами геометрического изображения комплексных чисел. Первая из них – обычная евклидова метрика:

(6)

Во второй – сферической метрике – под расстоянием между и понимается евклидово расстояние между их сферическими изображениями:

(7)

Эту формулу можно распространить на множество , положив

(8)

Формула (8) получается из (7), если положить в ней , разделить числитель и знаменатель на и устремить к бесконечности. Очевидно, что Введение каждой из этих двух метрик превращает множество в метрическое пространство.