Методы интегрирования рациональных функций от sin X и cos X

Рациональные функции от sin x и cos x – это функции, образованные из sin x, cos x и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: R(sin x, cos x). Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот. Интегралы от рациональных функций имеют вид: .

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.   1)   Подстановка     всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.   2)   Если R(sin x, cos x) умножается на   –1 при замене cos x → – cos x, то выполняется подстановка t = sin x.   3)   Если R(sin x, cos x) умножается на   –1 при замене sin x → – sin x, то выполняется подстановка t = cos x.   4)   Если R(sin x, cos x) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x, и sin x → – sin x, то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x.

8) Определённый интеграл Римана

Рассмотрим функцию y = f(x), которая определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками .

Обозначим , а точки будем выбирать так, чтобы при . Внутри каждого отрезка выберем точку .

При озвученных условиях существует множество способов выбора точек и .

Интегральной суммой функции y = f(x) для данного разбиения отрезка [a; b] и данного выбора точек называют выражение

Для конкретного разбиения отрезка [a; b] и выбора точек мы получим свою интегральную сумму. То есть, мы имеем множество интегральных сумм для различных вариантов выбора и .

Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого сколь угодно малого положительного ипсилон существует такое сколь угодно малое положительное, зависящее от ипсилон, дельта , что как только , то при любом выборе точек справедливо неравенство .

Функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если существует конечный предел ее интегральных сумм при . Значение предела есть определенный интеграл Римана.

Принято следующее обозначение интеграла Римана: . Тогда по определению определенного интеграла Римана имеем .

Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно, f(x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

Значение определенного интеграла Римана не зависит от переменной интегрирования, то есть, .

9) Основные свойства определённого интеграла

Так как определенный интеграл равен разности значений первообразной, та его свойства выводятся из свойств неопределенного интеграла.

а) Если существует и — любое число, то .

Доказательство. Из соответствующего свойства неопределенных интегралов следует, что если — первообразная для , то — первообразная для . Значит,

б) Если функции и имеют первообразные на отрезке , то

Доказательство. Из соответствующего свойства неопределенных интегралов следует, что если — первообразная для , a — первообразная для на отрезке , то — первообразная для . Значит,

в) Если функция имеет первообразную на отрезке и если , то (аддитивное свойство определенного интеграла)

Доказательство. Пусть — первообразная для . Тогда

Но . Значит,

что и требовалось доказать.

Доказанное свойство имеет простой геометрический смысл: оно выражает аддитивность площади криволинейной трапеции. Так, на рисунке 5

. Тогда .

г) Если функция имеет первообразную на отрезке , то справедливо равенство

Доказательство. Пусть — первообразная для . Тогда

Но , откуда и следует доказываемое утверждение.

д) . Доказательство: .