5) Интегрирование рациональных функций.

Для интегрирования рациональной функции P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

(I).

(II).

(III). (корни знаменателя комплексные, т. е. р² - 4q < 0);

(IV). ( k≥2, корни знаменателя комплексные),

где А, а, М, N, p, q — действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дpобь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где А₁, А₂, .... В₁, В₂, ..., С₁, D₁, ..., М₁, N₁, ... - некоторые действительные коэффициенты.

Пояснимформулировку теоремы на следующих примерах:

 

Для нахождения неопределенных коэффициентов А₁,A₂,...,B₁,B₂,... в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:

1.  В правой части равенства (31.6) приведем к общeмy знаменателю Q(x); в результате получим тождество , где S(х) - многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тoждеотвe знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е.

Р(х) ≡ S(х).         (31.7)

3. Приравнивая кoэффициeнты при одинаковых степенях х (по теореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты A₁, А₂,..., B₁,...

6) Интегрирование иррациональных функций

7) Интегрирование тригонометрическх функций

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), то следует выполнить преобразование: cos (x+b) = cos (x+a – (a–b) ) = cos (x+a) cos (b–a) + sin ( x+a ) sin (b–a). После чего сделать замену z = x+a. В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z, cos z, tg z, ctg z, то нужно сделать подстановку . Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.