Лабораторная работа №1

Тема: Общая задача линейного программирования. Надстройка «Solver» в Ms Excel. Математический редактор Mathcad.

Цель: познакомиться с задачами линейного программирования; научиться строить экономико-математическую модель задачи, научиться стоить табличную модель и находить решение при помощи надстройки «Solver» и Mathcad, проводить анализ полученных результатов.

Теоретический раздел Методы линейного программирования

В настоящее время множество задач социально-экономических процессов, а также большой объем частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оптимизационных задач являются методы линейного программирования.

Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкий круг задач коммерческой деятельности, таких, как: планирование товарооборота; размещение розничной торговой сети города; планирование товароснабжения города, района; прикрепление торговых предприятий к поставщикам; организация рациональных перевозок товаров (транспортная задача); распределение работников торговли по должностям (задача о назначении); организация рациональных закупок продуктов питания (задача о диете); распределение ресурсов; планирование капиталовложений; оптимизация межотраслевых связей; замена торгового оборудования; определение оптимального ассортимента товаров в условиях ограниченной площади; установление рационального режима работы.

В задачах линейного программирования критерий эффективности и функции в системе ограничений линейны.

Общая задача линейного программирования (злп)

Постановка задачи коммерческой деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция может быть представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описывается посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение – значения переменных должны быть неотрицательны, поскольку они представляют такие величины, как товарооборот, время работы, затраты и другие экономические показатели.

В целом экономико-математическая формулировка и модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП) имеют следующий вид:

найти максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции

(1.1)

при условиях-ограничениях:

где a_ij, b_i, c_j – заданные постоянные величины.

Стандартной ЗЛП называется задача, которая cостоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции (1.1) при выполнении условий (1.2) – нетривиальных и (1.4) – тривиальных.

Канонической (или основной) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального значения целевой функции (1.1) при выполнении условий (1.3) и (1.4).

Для перехода от стандартной формы записи ЗЛП к канонической необходимо ограничение – неравенство исходной ЗЛП, имеющее вид « », преобразовать в ограничение – равенство с добавлением к левой части дополнительной неотрицательной переменной. Ограничение – неравенство вида « » преобразуется в ограничение – равенство вычитанием из левой части дополнительной неотрицательной переменной.

В случае, когда требуется найти максимум функции , можно перейти к нахождению минимума функции , так как .

В системе из m линейных уравнений с n переменными базисными (основными) называются любые m переменные, если соответствующий им определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля, а остальные (n-m) переменные называются свободными (неосновными). В базисном решении все (n-m) свободные переменные равны нулю.

Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям задачи, называется допустимым решением (или в экономических задачах – планом). Совокупность допустимых решений формирует область допустимых решений (ОДР).

Допустимое базисное решение (опорный план) содержит только неотрицательные переменные, среди которых свободные равны нулю.

Опорный план является невырожденным, если все базисные переменные строго положительны, и вырожденным – в противном случае.

План , при котором целевая функция задачи принимает экстремальное (максимальное, минимальное) значение, называется оптимальным.

Оптимальное решение ЗЛП совпадает с одним из ее допустимых базисных решений.