Пример типовой задачи

Составим двойственную задачу к прямой задаче планирования товарооборота, которая решена симплексным методом в лабораторной работе №2 (Пример 1).

Задачи образуют симметрическую пару двойственных задач (табл. 3.2). Решение прямой задачи дает оптимальный план товарооборота по реализации трех групп товаров, а решение двойственной – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых в процессе реализации.

Решение прямой задачи получено симплексным методом. Оптимальный план товарооборота:

Таблица 3.2

Прямая задача

Двойственная задача

Используя последнюю итерацию прямой задачи (план III симплексной табл. 2.4), найдем оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что

Составим матрицу А из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу каким-либо методом, например через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из плана III симплексной табл. 2.4, обратная матрица расположена в столбцах дополнительных переменных Тогда

Оптимальный план двойственной задачи равен:

= (23,75; 12,5; 0; 0; 0; 5,75); Z( ) = 27 625.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели планирования товарооборота:

Первое и второе ограничения прямой задачи выполняются как равенства. Это означает, что ресурсы первого и второго видов полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными и их оценки согласно второй теореме двойственности отличны от нуля .Третье ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс третьего вида израсходован не полностью, остаток его в оптимальном плане = 1875. Значит, ресурс третьего вида не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане = 0.

Таким образом, положительную двойственную оценку имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

Первое и второе ограничения двойственной задачи выполняются как равенства. Это означает, что двойственные оценки ресурсов, используемых для реализации единицы товаров первой и второй групп, равны в точности доходам. Поэтому продавать эти виды товаров экономически целесообразно, а их реализация предусмотрена оптимальным планом прямой задачи ( ). Третье ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка, используемая при реализации единицы товара третьей группы, выше дохода от его продажи. Следовательно, продавать товары третьей группы невыгодно, и действительно в оптимальном плане прямой задачи = 0.

Величина двойственной оценки показывает, насколько возрастает значение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса на единицу. Например, увеличение рабочего времени на 1 чел.-ч приведет к получению нового оптимального плана, в котором прибыль возрастает на 23,75 и станет равной -

F( ) = 27 625 + = 27 625 + 23,75 = 27648,75 тыс. руб.

При этом коэффициенты оптимальной симплексной табл. 4 столбца x₄, коэффициенты структурных сдвигов показывают, что указанное увеличение прибыли достигается за счет увеличения реализации второй группы товара на величину 6,25 единицы, уменьшения объема продажи первой группы товара на величину 2,5 единицы и уменьшения остатка ресурса третьего вида на 62,5 м².

В то же время ввод в продажу невыгодной группы товаров уменьшает размер дохода. Если = 1, то

F( ) = 27 625 - 5,75 = 27619,25 тыс. руб.

При этом коэффициенты структурных сдвигов оптимальной симплексной табл. 2.4 столбца x₃ показывают, что указанное уменьшение дохода происходит за счет уменьшения объема продажи выгодного товара второй группы на величину 2,25 единицы, увеличения продажи первой группы товара на 0,5 единицы и уменьшения остатка ресурсов третьего вида на 1,25 м².

Таким образом, двойственные оценки связаны с оптимальным планом прямой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи оказывает влияние на ее оптимальный план и систему двойственных оценок. В свою очередь двойственные оценки служат инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях меняющихся коммерческих ситуаций.