Теоремы двойственности

Каждая из пары двойственных задач может быть решена самостоятельно. Однако при определении оптимального плана прямой задачи находится их решение двойственно.

Если – оптимальный план прямой задачи, а – система оптимальных оценок ресурсов, то

т.е. максимально возможный доход от продажи товаров (или производства продукции), который может быть получен при имеющихся запасах ресурсов, равен оценке этих ресурсов.

Т.е., если одна из пары двойственных задач I и II разрешима, то разрешима и другая, причем значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, где  ,  - оптимальные решения задач I и II. Сформулированное утверждение известно под названием первой теоремы двойственности.

Оптимальный план можно записать в матричном виде:

где – обратная матрица к матрице, составленной из компонент-векторов, вошедших в оптимальный план.

Подставим выражение оптимального плана в выражение (3.7):

где – матрица коэффициентов базисных переменных, вошедших в оптимальный

план;

тогда оптимальный план двойственной задачи равен:

Таким образом, если найти оптимальный план прямой задачи, используя выражение (3.10), можно получить оптимальный план двойственной задачи. Поскольку в системе уравнений прямой задачи среди векторов имеются единичных, то матрица расположена в первых строках оптимальной симплексной таблицы в столбцах единичных векторов. Тогда нет необходимости определять оптимальный план двойственной задачи умножением , поскольку компоненты этого плана совпадают с соответствующими элементами индексной ( )-й строки столбцов единичных векторов.

Установим соответствие между переменными прямой и двойственной задач в симплексной таблице (табл.3.1).

Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи можно получить решение двойственной, не решая ее, и наоборот, из решения двойственной задачи – решение прямой.

Для оптимальных планов и пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений:

Таблица 3.1

Соотношение переменных прямой и двойственной задач

Переменные прямой задачи (заголовок симплексной таблицы)	основные	дополнительные
Переменные двойственной задачи (их значения расположены в индексной строке оптимальной симплексной таблице)	дополнительные	основные

Вторая теорема двойственности, математически записанная системой уравнений (3.11), может быть интерпретирована следующим образом. Планы  и оптимальны в задачах I и II тогда и только тогда, когда при подстановке их в систему ограничений задач I и II соответственно хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство.

Т.е., если в оптимальном плане некоторый i-й ресурс использован не полностью, т.е. если , то соответствующая оценка i-го ресурса = 0.

Таким образом, положительную двойственную оценку имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане, т.е. когда .

Вторая часть уравнений системы (3.11) свидетельствует о том, что продаже в оптимальном плане подлежат только те виды товаров , для которых оценка затраченных на их реализацию ресурсов равна доходу от их продажи, т.е. если .

Нецелесообразно продавать те виды товаров, для которых . В этом случае в оптимальном плане объем реализации данного товара = 0.