Построение двойственной задачи

Двойственная обратная задача – задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой задачи. В литературе по линейному программированию в большинстве случаев рассматриваются формулировки двойственной задачи, соответствующие различным формам прямой задачи, которые, в свою очередь, определяются типом ограничений, знаками переменных и направлением оптимизации (максимизация или минимизация). Опыт показывает, что на начальной стадии изучения теории линейного программирования детали различных формулировок двойственной задачи нередко затрудняют восприятие материала.

Рассмотрим обобщенную формулировку двойственной ЗЛП, которая применима к любой форме представления прямой задачи. Следует, однако, помнить, что приводимая ниже формулировка двойственной задачи является обобщенной в том смысле, что она применима ко всем формам прямой задачи.

Прямая ЗЛП в стандартной форме записывается следующим образом:

максимизировать

при ограничениях:

Чтобы сформулировать условия двойственной задачи, проведем симметричное структурное преобразование условий прямой задачи в соответствии со следующими правилами:

1) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи;

2) каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи;

3) коэффициенты при некоторой переменной, фигурирующие в ограничениях прямой задачи, становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения двойственной задачи, а коэффициент, фигурирующий при той же переменной в выражении для целевой функции прямой задачи, становится постоянной правой части этого же ограничения двойственной задачи.

На примере задачи планирования товарооборота двойственная задача формулируется следующим образом: определить оценку (неявную стоимость) единицы каждого вида ресурсов , чтобы при заданных объемах ресурсов , прибыли , нормах расхода ресурсов минимизировать оценку всех ресурсов торгового предприятия, затраченных на организацию торгового процесса.

Запишем математическую модель двойственной задачи.

Определить вектор , который удовлетворяет ограничениям

и обеспечивает минимальное значение целевой функции

Ограничение (3.4) показывают, что стоимость всех ресурсов, затраченных на продажу единицы j-группы товаров, должна быть не меньше дохода, получаемого при реализации единицы j-группы товаров, а общая стоимость всех ресурсов должна быть минимизирована.

Правила построения двойственных задач

В целом двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам.

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи путем транспонирования.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи.

5. Двойственная задача решается на минимум, если целевая функция прямой задачи задается на максимум, и наоборот.

6. Коэффициентами функции цели двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений прямой задачи.

7. Если переменная прямой задачи , то j-е условие системы ограничений двойственной задачи является неравенством, если – любое число, то j-е условие двойственной задачи представляет собой уравнение.

8. Если i-е соотношение прямой задачи является неравенством, то соответствующая оценка i-го ресурса – переменная , если i-е соотношение представляет собой уравнение, то переменная двойственной задачи – любое число.

Решение прямой задачи дает оптимальные объемы в структуре товарооборота торгового предприятия, а решение двойственной – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для реализации товаров.