Общие задания

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практический раздел.

3. Для предоставленных задач (индивидуальные задания) построить экономико-математическую модель, привести ее к каноническому виду вручную.

4. Построить табличную модель и найти оптимальный план при помощи Поиска решения и Mathcad.

5. Убрать из заданных ограничений не связанные и объяснить результат.

6. Провести анализ полученных результатов, сделать выводы (отразить в отчете).

7. Оформить отчет.

Индивидуальные задания

1. Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования не более 120 ч., 280 ч., 240 ч. и 360 ч., соответственно. Прибыль от реализации изделия А = 10 руб., В = 14 руб. и С = 12 руб. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны ниже:

Тип оборудования	Затраты времени на обработку одного изделия, станко-часы.
	А	В	С
Фрезерное	2	4	5
Токарное	1	8	6
Сварочное	7	4	5
Шлифовальное	4	6	7

Какое количество изделий необходимо изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной?

2. При составлении суточного рациона кормления скота для фермы можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен обладать определенной питательностью (число кормовых единиц не более 30) и содержать питательные вещества: белок( не более 1 кг), кальций (не более 100г) и фосфор (не более 80г).

Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и о стоимости этих продуктов приведены ниже:

Продукт	Количество кормовых единиц	Белок, г/кг	Кальций, г/кг	Фосфор, г/кг	Стоимость, ден.ед./кг
Сено свежее	0,5	40	1,25	2	1,2
Силос	0,5	10	2,5	1	0,8

Какой должен быть состав суточного рациона, чтобы его прибыль была максимальной?

3. Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не более 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира, а так же автомата по расфасовке 1 т сметаны показаны ниже:

Ресурсы	Молоко	Кефир	Сметана
Затраты рабочего времени оборудования по разливу, машино-час	0,18	0,19	-
Затраты рабочего времени автомата по фасовке, час	-	-	3,25

Сколько молочной продукции необходимо выпустить заводу, чтобы прибыль была максимальной?

4. На птицеферме употребляются два вида кормов - I и II. В единице массы корма I содержатся единица вещества A, единица вещества В и единица вещества С. В единице массы корма II содержатся четыре единицы вещества А, две единицы вещества В и не содержится вещество C. В дневной рацион каждой птицы надо включить не менее единицы вещества А, не менее четырех единиц вещества В и не менее единицы вещества С. Цена единицы массы корма I составляет 3 рубля, корма II - 2 рубля.

Каков должен быть рацион для птиц, тоб его себестоимость была минимальной?

5. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 часов в день, участка В - 72 часа и участка С - 10 часов.

Сколько необходимо выпустить хоккейных клюшек и шахматных наборов. Чтобы прибыль была максимальной?

6. Кондитерская фабрика в Покрове освоила выпуск новых видов шоколада «Лунная начинка» и «Малиновый дождик», спрос на которые составляет соответственно не более 12 и 7 т в месяц. По причине занятости трех цехов выпуском традиционных видов шоколада каждый цех может выделить только ограниченный ресурс времени в месяц. В силу специфики технологического оборудования затраты времени на производство шоколада разные, данные представлены в таблице:

Номер цеха	Время на производство 1 г шоколада, ч		Время, отведенное цехами под производство, ч/мес
	"Лунная начинка"	"Малиновый дождик"
I	1	7	56
II	2	3	36
III	3	2	42
Оптовая цена, руб./т	80	60

Определите оптимальный объем выпуска шоколада, обеспечивающий максимальную выручку от продажи.

7. Для изготовления изделий А, В, С фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Указанные изделия производят с помощью токарных и фрезерных станков. Исходные данные приведены ниже:

Вид ресурса	Объем ресурса	Нормы расхода на одно изделие
		А	В	С
Сталь, кг	570	10	70	40
Цветные металлы, кг	420	20	50	40
Токарные станки, станко-час	5600	300	400	380
Фрезерные станки, станко-час	3400	200	100	120
Прибыль, ден.ед		3	8	7

Сколько нужно фабрике выпустить изделий каждого вида, чтобы прибыль была максимальной?

8. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие приведен ниже:

	Расход древесины, м3		Цена изделия, тыс. руб.
	хвойные	лиственные
Стол	0,15	0,2	0,8
Шкаф	0,3	0,1	1,5
Запас древесины, м3	80	40

Какое количество столов и шкафов необходимо производить фирме, чтобы прибыль была максимальной?

9. Малое предприятие арендовало мини-пекарню для производства чебуреков и беляшей. Ежедневный спрос на чебуреки не превышает 260 шт., а на беляши – 240 шт. Суточные запасы теста и мяса и расходы на производство каждой единицы продукции приведены ниже:

	Расход на производство, кг/шт.		Суточные запасы сырья, кг
	чебурека	беляша
Мясо	0,035	0,06	21
Тесто	0,065	0,03	22
Цена, руб./шт.	5	4,8

Сколько беляшей и чебуреков необходимо произвести, чтобы прибыль была максимальной?

10. Издательский дом «Геоцентр-Медиа» издает два журнала: «Автомеханик» и «Инструмент», которые печатаются в трех типографиях: «Алмаз-Пресс», «Карелия-Принт» и Hansaprint (Финляндия), где общее количество часов, отведенное для печати, и производительность печати одной тысячи экземпляров ограничены и представлены ниже:

Типография	Время печати 1 тыс. экземпляров		Ресурс времени, отведенный типографией, час
	"Автомеханик"	"Инструмент"
Алмаз-Пресс	2	14	112
Карелия-Принт	4	6	70
Hansaprint	6	4	80
Оптовоя цена, руб./шт.	16	12

Спрос на журнал «Автомеханик» составляет не более 12 тыс. экземпляров, а на журнал «Инструмент» – не более 7,5 тыс. экземпляров в месяц.

Найти оптимальный план печати журналов, с условием максимума выручки от продажи.

11. Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, бюро и книжные шкафы. При изготовлении этих товаров используются два различных типа досок, причем фабрика имеет в наличии 1500 м досок I типа и 1000 м досок II типа. Кроме того, задан объём трудовых ресурсов в количестве 800 чел.-ч.

В следующей таблице приведены нормативы затрат каждого из видов ресурсов на изготовление единицы каждого изделия, а также получаемая прибыль.

Изделия Ресурсы	Затраты на одну ед. изделия
	Столы	Стулья	Бюро	Кн. Шкафы
Доски I типа (м)	5	1	9	12
Доски II типа (м)	2	3	4	1
Труд. Ресурсы (чел.-ч)	3	2	5	10
Прибыль за ед. продукции (руб)	12	5	15	10

Найти оптимальный план ассортимента выпускаемой продукции таким образом, чтобы общая прибыль фабрики была максимальной.

12. Решить предыдущую задачу при дополнительных условиях, налагаемых на ассортимент выпускаемой продукции: столов - не более 40 шт.; книжных шкафов - не более 10 шт.

13. Процесс изготовления глюкозы и патоки на крахмалопаточном комбинате представляет собой выполнение таких операций как расщепление сырья, выжимку и варение. Время работы оборудования при выполнении каждой операции ограничено и составляет соответственно 1600, 1200 и 1400 часов. Нормы времени обработки продукции при каждой операции, а также прибыль, получаемая комбинатом от реализации единицы продукции, приведены в таблице.

Операции	Нормы затрат времени на изготовление ед. прод. (ч/кг)
	Патока	Глюкоза
Расщипление	0,4	0,4
Выжимка	0,3	0,4
Варение	0,7	0,2
Прибыль на ед. продукции (руб)	0,3	0,6

Найти оптимальный план изготовления глюкозы и патоки с условием максимума прибыли комбината.

14. На берегу Крымского побережья строится новая база отдыха «Аврора», которая будет состоять из корпусов «люкс», «высшего класса» и «среднего класса». Количество номеров в корпусах разного типа по предоставляемым услугам представлено в таблице.

Кол-во отдыхающих в номере	Кол-во номеров в разных корпусах			Необходимое кол-во номеров на базе
	Люкс	Высшего класса	Среднего класса
1	2	4	6		30
2	3	6	9		40
3	4	7	10		50
4	3	5	7		60
Стоимость строительства одного корпуса (млн. руб)	50	30	20

На этой базе отдыха обязательно должны быть хотя бы 1 корпус «высшего класса» и 2 корпуса «люкс». Найти оптимальный план строительства, чтобы затраты на строительство были минимальными.

15. За счет мелиоративных работ площадь пашни в хозяйстве возросла на 120 га. Эту площадь было решено отвести под посев двух наиболее эффективных для хозяйства культур: проса и гречихи, причем гречихи необходимо получить не более 1500 ц, а проса не более 1000 ц. В хозяйстве имеется 800 ц. минеральных удобрений. Выращивание культур характеризуется следующими показателями:

Показатели	Просо	Гречиха
Прибыль (руб за 1 ц)	20	40
Расход пашни (га) на 1 ц культуры	0,03	0,06
Внесение удобрений (ц) на 1 га пашни	0,6	0,2

Найти оптимальный план посева проса и гречихи с условием максимума прибыли от продажи.

16. На производство одной партии тетрадей, дневников и наборов писчей бумаги требуется соответственно 2400, 2400 и 4800 кг сырья. При этом затраты рабочего времени на производство одной партии тетрадей и дневников составляют 0,18 и 0,36 машино-часов. На производстве одной партии писчей бумаги заняты специальные автоматы в течение 3,25 часа. Всего для производства бумажной продукции завод сможет использовать не более 312 т сырья. Основное оборудование может быть занято в течение 21,6 машино-часов, а автоматы по производству писчей бумаги - в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации одной партии тетрадей, дневников и наборов писчей бумаги соответственно равна 300, 220 и 400 грн. Завод должен ежедневно производить не более 100 партий тетрадей. На производство другой продукции ограничений нет.

Построить оптимальный план производства, чтобы получаемая прибыль была максимальной.

17. В саду имеются яблони различного возраста. Новый хозяин сада стоит перед дилеммой: имеющихся у него удобрений явно не хватает на подкормку всех яблонь. Известна урожайность деревьев каждого возраста и количество удобрений, вносимых на одно дерево каждого возраста.

Вид удобрений	Возраст деревьев, лет				Всего удобрений
	8-13	14-19	20-25	26-30
Органические удобрения, кг	1,8	4	5,5	8	96
Мочевина, г	38	78	140	180	2128
Суперфосфат, г	150	315	480	750	8310
Хлорид калия, г	50	105	150	240	2690
Урожайность с одного дерева, кг	7	35	70	54
Кол-во деревьев в саду	10	6	7	4

Каково будет оптимальное количество деревьев, которые должен удобрить хозяин, чтобы урожайность была максимальной. (Так как сад находится в нечернозёмной зоне, то неудобренные деревья практически не дают урожая).

18. Кондитерская фабрика для производства трёх видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 т карамели данного вида, общее количество сырья каждого вида, а также прибыль от реализации 1 т карамели данного вида приведены в таблице.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели				Общее кол-во сырья (т)
	А	В	С
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктовое пюре	-	0,1	0,1	120
Прибыль от реализации 1 т карамели	4500	5800	7300

Найти оптимальный план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от её реализации.

19. На трех типах технологического оборудования предприятие может производить пять видов изделий, для каждого из которых задано максимальное количество их выпуска. Затраты времени на единицу продукции, фонд времени по группам оборудования, а также прибыль от выпуска одного изделия приведены в таблице.

Тип оборудования	Затраты времени на производство одного изделия, ч./изд.					Фонд времени, ч.
	1 вид	2 вид	3 вид	4 вид	5 вид
1 тип	4	3	5	1	4		2000
2 тип	2	1	3	6	2		2500
3 тип	4	3	6	2	1		1800
Максимальный план выпуска изделий, шт.	800	1200	400	950	1000
Прибыль от ед. продукции, руб	7	6	4	3	5

Определите оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли.

20. Завод выпускает два вида продукции, используя при этом четыре вида сырьевых ресурсов. Нормы затрат сырья, его запасы, а также доход получаемый от выпуска единицы продукции приведены в таблице:

Виды сырья	Нормы затрат на ед. продукции, кг			Запасы сырья
	продукция 1 вида	продукция 2 вида
Р1	0,3	0,4	165
Р2	0,6	0,4	240
Р3	0,8	0	280
Р4	0	0,1	120
Доход от ед. продукции, руб	6	5

Найдите оптимальный план выпуска продукции, при котором будет получен максимальный доход.

21. Кооператив, используя три типа ресурсов, реализует продукцию четырех видов. Имеющийся объем ресурсов, их затраты на продажу одной партии изделий, а также прибыль от ее реализации приведены в таблице:

Ресурсы	Затраты ресурсов на реализацию одной партии изделий, усл. ед./парт.				Общий объем ресурсов, усл. ед.
	1 вид	2 вид	3 вид	4 вид
1	3	4	2	6	64
2	4	7	3	5	83
3	2	3	6	1	58
Прибыль от реализации одной партии изделий, руб/парт.	14	15	12	17

Найти оптимальный план продажи партий изделий, обеспечивающий максимальную прибыль кооперативу.

22. Магазин осуществляет реализацию товаров двух видов. Данные о нормозатратах ресурсов, их запасах и о прибыли от реализации единицы товара представлены в таблице.

Виды ресурсов	Затраты ресурсов на ед. товара		Общий объем ресурсов, усл. ед.
	товар 1	товар2
Материальные ресурсы, руб	4	3	24000
Трудовые ресурсы, чел.-мин.	7	8	56000
Прибыль от реализации ед. товара, руб	0,5	0,6

При этом, спрос на товар 1 вида никогда не превышал спрос на товар 2 вида больше, чем на 250 ед. А спрос на товар 2 вида никогда не был выше, чем 780 ед.

Найти оптимальный план товарооборота, исходя из условия получения максимальной прибыли.

23. Экономически выгодный откорм животных предполагает, что в их дневном рационе будет кормовых единиц не менее 100, белка не менее 2 кг, кальция не менее 300 г и фосфора не менее 150 г. Рацион состоит из трех видов кормов – А, В и С. В таблице приведены данные о концентрации необходимых веществ в кормах, а также цена этих кормов.

Вид корма	Концентрация питательных веществ в кормах				Цены кормов, коп./кг
	Кол-во кормовых единиц, кг	белок, г/кг	кальций, г/кг	фосфор, г/кг
А	0,9	80	1,4	3	20
В	0,8	70	1,8	4	40
С	0,6	90	1,2	6	15

Какое количество каждого вида корма необходимо расходовать, чтобы общие затраты на откорм были минимальными.

24. В городе возможно строительство, а затем продажа домов трех типов, каждый из которых характеризуется определенным количеством однокомнатных, двухкомнатных, трехкомнатных и четырехкомнатных квартир, а также разной ценой их строительства. Соответствующая информация приведена в таблице. В ней также указано требуемое количество квартир каждого вида.

Вид квартир	Кол-во квартир в одном доме, шт.			Максимальное кол-во квартир, шт.
	1 тип дома	2 типа дома	3 тип дома
Однокомнатные	10	56	15	2000
Двухкомнатные	30	20	60	900
Трехкомнатные	60	34	-	1800
Четырехкомнатные	20	10	5	700
Себестоимость одного дома, млн. руб	8,3	8,35	4,5

Найти оптимальный план строительства жилых домов, обеспечивающий максимальную прибыль от продажи.

25. Процесс изготовления кожаных брюк, курток и пальто предусматривает прохождение изделий через дубильный, раскройный и пошивочный цехи. Фонд времени работы каждого из них составляет соответственно 1340, 1280, и 1520 часов. Нормы времени обработки изделий в каждом из цехов, а также прибыль, получаемая предприятием от выпуска единицы продукции, приведены в таблице.

Участки	Нормы затрат времени на единицу продукциию ч./изд.
	брюки	куртка	пальто
Дубильный	5	5	3
Раскройный	1	3	4
Пошивочный	2	4	4
Прибыль от ед. продукции, руб/изд.	20	10	5

Найти оптимальный план выпуска изделий, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

26. Ежедневно в город на рынок необходимо доставить не более 16 тонн картофеля из трех колхозов по цене соответственно 1000, 900, 1100 грн. за 1 тонну. Для своевременной доставки картофеля необходимо в каждом колхозе на погрузку затратить не более 30 мин. Известно, что возможности колхозов составляют 12, 10, 7 т соответственно, а на погрузку 1 т. в каждом из них затрачивается 3, 5 и 4 мин.

Сколько картофеля следует привозить на рынок из каждого колхоза, чтобы суммарная стоимость завезенного для продажи картофеля была максимальной.

27. Железнодорожное депо формирует составы скорых и пассажирских поездов для обеспечения перевозки пассажиров на одном из направлений. Один состав скорого поезда формируется из 5 плацкартных вагонов, 6 купейных и 3 мягких. Пассажирский состав состоит из 8 плацкартных, 4 купейных, 1 мягкого. Известно также, что в одном плацкартном вагоне может разместиться 58 пассажиров, в купейном – 40, в мягком – 32. Для формирования составов имеется следующий парк вагонов: плацкартных 81, купейных 70 и мягких 26.

Найти оптимальный план формирования составов скорых и пассажирских поездов, при котором обеспечивалась бы перевозка максимального количества пассажиров.

28. Экспериментальная лаборатория химического завода разработала пять новых видов реактивов, которые имеют огромное значение в хозяйственной деятельности региона. Прибыль от продажи одной тонны реактива соответственно составляет 500, 800, 900, 100 и 1000 ден. ед. Но при производстве этих реактивов в атмосферу выделяются вредные вещества А, В и С. При этом нормы выбросов вещества А в месяц составляют 8000 мл, В – 1000 мл, С – 4000 мл. Выбросы этих веществ при производстве одной тонны реактива приведены в таблице.

Вид реактива	Вредные вещества
	А, мл	В. Мл	С, мл
1	2	1	5
2	0	4	6
3	8	1	3
4	4	6	0
5	5	0	1

В каком количестве данные реактивы можно производить, чтобы не превысить нормы выбросов вредных веществ и получить максимальную прибыль?

29. Плановые фонды продуктов и нормативы их затрат на приготовление ста блюд четырех видов, а также получаемая от их продажи прибыль представлены в таблице.

Продукты	Нормативы затрат продуктов на приготовление 100 блюд				Плановый фонд продуктов
	1 вид блюд	2 вид блюд	3 вид блюд	4 вид блюд
Мясо, кг	6	9	-	-	3800
Рыба, кг	3	-	4	-	4200
Молоко, кг	5	-	-	20	5100
Макаронные изделия, кг	2	3	2	4	2300
Овощи, кг	4	5	3	-	6700
Прибыль от продажи 100 блюд, руб.	200	400	600	500

Найти оптимальный план приготовления блюд, которая обеспечит максимальную прибыль.

30. Фирма производит для автомобилей запасные части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 500 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа В – 2 чел.-ч. Производственная мощность позволяет выпускать максимум 250 деталей типа А и 200 деталей типа В в неделю. Для производства деталей типа А уходит 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала, а для производства одной детали типа В – 4 кг полимерного материала и 4 кг листового металла. Еженедельные запасы каждого материала – соответственно 1 и 1,7 т. Общее число производимых деталей в течение одной недели должно составлять не более 400 штук.

Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю, если доход от продаж одной детали типа А и В составляет соответственно 110 и 150 руб.