Chiziqli regressiya

Korrelyatsion bog‘liqlik ta’rifini aniqlashtiramiz, buning uchun shartli о‘rtacha qiymat tushunchasini kiritamiz.

Shartli о‘rtacha qiymat deb, Y tasodifiy miqdorning X=x qiymatiga mos qiymatlarining arifmetik о‘rtacha qiymatiga aytiladi.

Masalan, X miqdorning x₁=2 qiymatiga Y miqdorning y₁=3, y₂=5, y₃=6, y₄=10 qiymatlari mos kelsin. U holda, shartli о‘rtacha qiymat

ga teng.

Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi deb, _x shartli о‘rtacha qiymatning

x ga funksional bog‘liqligiga aytiladi:

(15.1)

X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi:

(15.2)

(15.1) va (15.2) tengliklar mos ravishda Y ning X ga va X ning Y ga nisbatan regressiya tenglamasi deyiladi.

f(x) va funksiyalar- regressiya funksiyalari, ularning grafiklari esa regressiya chizig‘i deyiladi.

Korrelyatsion nazariyasining asosiy masalalaridan biri korrelyatsion bog‘lanish shaklini aniqlash, ya’ni uning regressiya funksiyasi kо‘rinishini (chiziqli, kvadratik, kо‘rsatkichli va hokozo) topishdan iborat. Regressiya funksiyalari kо‘p hollarda chiziqli bо‘ladi. Ikkinchi masala korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni aniqlash.

Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi zichligi Y ning qiymatlarini _x shartli о‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bо‘yicha baholanadi: kо‘p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yо‘qligidan darak beradi; kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini kо‘rsatadi. X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligining zichligi ham shu kabi baholanadi.

Y va X son belgilar chiziqli korrelyatsion boglangan bо‘lsin. Eng sodda holni qaraymiz. X belgining turli x qiymatlari va Y belgining ularga mos qiymatlari bir martadan kuzatilgan bо‘lsin:

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Bu qiymatlar bir martadan kuzatilganligi uchun shartli о‘rtacha qiymatdan foydalanishga ehtiyoj yо‘q. Regressiya tenglamasini

_(15.3)

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda, _{- Y ning X ga} nisbatan _{regressiya koeffitsiyenti deyiladi.}

Eslatma._{X ning Y ga} nisbatan _{regressiya tо‘g‘ri chizig‘ining} tenglamasini shunga о‘xshash topish mumkin, bu yerda X ning Y ga regressiya koeffitsiyenti.

1-misol. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi orasida sо‘rov о‘tkazildi. Sо‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda о‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Kutilgan ballar	3,2	3,0	3,10	2,8	3,4	3,8	4,0	3,7	2,9	4,5	4,6	4,2
Olingan ballar	4,0	3,8	3,5	3,0	4,4	4,2	4,6	4,5	3,1	4,1	4,8	4,0

Berilgan ma’lumotlar bо‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.

Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.

№
1	3,2	4,0	12,80	10,24	16,00	4,06	3,67
2	3,0	3,8	11,40	9,00	14,44	4,08	3,56
3	3,10	3,5	10,85	9,61	12,25	4,07	3,40
4	2,8	3,0	8,40	7,84	9,00	4,10	3,14
5	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,03	3,88
6	3,8	4,2	15,96	14,44	17,64	3,98	3,78
7	4,0	4,6	18,40	16,00	21,26	3,96	3,99
8	3,5	4,5	15,75	12,25	20,25	4,02	3,94
9	3,9	3,1	12,09	15,21	9,61	3,97	3,19
10	4,5	4,1	18,45	20,25	16,81	3,9	2,72
11	4,6	4,8	22,08	21,26	23,04	3,89	4,09
12	4,2	4,0	16,80	17,64	16,00	3,93	3,67
	44	48	177,94	145,05	195,66	48	44

Shunday qilib, =-0,12x+4,44.

15-Mavzu. Boshqa regressiya tanlanmalari. Parabola, ko’rsatkichli va darajali, giperbolik funksiya

Agar regressiya tenglamasi egri chiziq bilan tasvirlansa korrelyatsiya egri chiziqli deyiladi. Masalan, Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamalari quyidagi kо‘rinishlarda bо‘lishi mumkin.

(ikkinchi tartibli parabolik)

(uchinchi tartibli parabolik)

(giperbolik)

(kо‘rsatkichli)

Eng sodda egri chiziqli korrelyatsiya – parabolik korrelyatsiyadir:

(15.10)

X va Y son belgilar orasidagi bog‘lanish korrelyatsion jadval bilan berilgan bо‘lsin. Chiziqli korrelyatsiya bо‘lgan holdagi kabi (15.10) regressiya tenglamasining parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida topamiz va no’malum a, b, c parametrlarga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

(15.11)

bu yerda,

Sistemadan topilgan a, b, c parametrlar (15.10) tenglamaga qо‘yiladi va natijada izlanayotgan regressiya tenglamasi hosil qilinadi.

3-misol Ushbu kuzatish

X	0	2	4	6	8	10
Y	5	-1	-0,5	1,5	4,5	8,5

ma’lumotlari bо‘yicha Y ning X ga regressiya egri chizig‘i tenglamasini toping.

Yechish. Tenglamani (14.10) parabolik kо‘rinishda izlaymiz. Quyidagi hisoblashlar jadvalini tuzamiz.

T/r
1	0	5	0	0	0	0	0
2	2	-1	4	-2	8	16	-4
3	4	-0,5	16	-2	64	256	-8
4	6	1,5	36	9	216	1296	54
5	8	4,5	64	36	512	4096	288
6	10	8,5	100	85	1000	10000	850
JAMI	30	18	220	126	1800	15664	1180

Jadvaldan foydalanib, (15.11) tenglamalar sistemasini yozamiz:

Soddalashtiramiz:

Sistemadan c parametrni yо‘qotamiz:

_{Sistemani yechamiz:}

_{, ,}

Shunday qilib, izlangan regressiya tenglamasi

_{4-misol. Y hosildorlik (1 gektarga s hisobida)ni yerning haydash chuqurligi X (sm) ga bog‘liqligi jadval yordamida berilgan.}

X/Y	10	12	14	16	nx
0	4	1	-	-	5
10	-	2	3	2	7
20	-	1	4	4	9
30	-	2	2	3	7
40	-	2	3	1	6
50	2	2	2	-	6
ny	6	10	14	10	40

_{Hosildorlik va haydov chuqurligi bog‘liqligi kо‘rinishini aniqlang va regressiya tenglamasini tuzing.}

Yechish. Avvalo, Y ning x_i ni qiymatlariga mos _{(guruhli о‘rtacha) qiymatlarini topamiz.}

_,

_{Kо‘rinib turibdiki, guruhli о‘rtacha qiymatlar dastlab о‘sib sо‘ngra kamayadi. Bu esa Y va X lar orasida parabolik korrelyatsion bog‘liqlik borligidan dalolat beradi.Regressiya tenglamasini (15.10) kо‘rinishda izlaymiz va (15.11) normal tenglamalar sistemasini yozamiz. Buning uchun quyidagi yordamchi jadval tuzamiz:}

T/r
1	0	5	10,4	0	0	0	0	52	0	0
2	10	7	14	70	700	7000	70000	98	980	9800
3	20	9		180	3600	72000	144000	132	2640	52800
4	30	7		210	6300	189000	5670000	100	3000	90000
5	40	6		240	9600	384000	15360000	82	3280	131200
6	50	6	12	300	15000	750000	37500000	72	3600	180000
		40		1000	35200	1402000	60040000	536	13500	463800

_{Natijada quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.}

yoki

_{Sistemani yechib,}

_{larni topamiz.}

_{Shunday qilib, izlangan regressiya tenglamasi}

16-Mavzu. Boshqa regressiya tanlanmalari. Parabola, ko’rsatkichli va darajali, giperbolik funksiya