Regressiya tenglamasi va regressiya chizig‘I

Korrelyatsion bog‘liqlik ta’rifini aniqlashtiramiz, buning uchun shartli о‘rtacha qiymat tushunchasini kiritamiz.

Shartli о‘rtacha qiymat deb, Y tasodifiy miqdorning X=x qiymatiga mos qiymatlarining arifmetik о‘rtacha qiymatiga aytiladi.

Masalan, X miqdorning x₁=2 qiymatiga Y miqdorning y₁=3, y₂=5, y₃=6, y₄=10 qiymatlari mos kelsin. U holda, shartli о‘rtacha qiymat

ga teng.

Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi deb, _x shartli о‘rtacha qiymatning

x ga funksional bog‘liqligiga aytiladi:

(15.1)

X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi:

(15.2)

(15.1) va (15.2) tengliklar mos ravishda Y ning X ga va X ning Y ga nisbatan regressiya tenglamasi deyiladi.

f(x) va funksiyalar- regressiya funksiyalari, ularning grafiklari esa regressiya chizig‘i deyiladi.

Korrelyatsion nazariyasining asosiy masalalaridan biri korrelyatsion bog‘lanish shaklini aniqlash, ya’ni uning regressiya funksiyasi kо‘rinishini (chiziqli, kvadratik, kо‘rsatkichli va hokozo) topishdan iborat. Regressiya funksiyalari kо‘p hollarda chiziqli bо‘ladi. Ikkinchi masala korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni aniqlash.

Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi zichligi Y ning qiymatlarini _x shartli о‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bо‘yicha baholanadi: kо‘p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yо‘qligidan darak beradi; kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini kо‘rsatadi. X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligining zichligi ham shu kabi baholanadi.

Chiziqli regressiya

Y va X son belgilar chiziqli korrelyatsion boglangan bо‘lsin. Eng sodda holni qaraymiz. X belgining turli x qiymatlari va Y belgining ularga mos qiymatlari bir martadan kuzatilgan bо‘lsin:

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Bu qiymatlar bir martadan kuzatilganligi uchun shartli о‘rtacha qiymatdan foydalanishga ehtiyoj yо‘q. Regressiya tenglamasini

_(15.3)

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda, _{- Y ning X ga} nisbatan _{regressiya koeffitsiyenti deyiladi.}

11-Mavzu. Kuzatish natijalarini eng kichik kvadratlar usuli bilan qayta ishlash. Ikki o’lchovli tanlanma

_{va parametrlarni shunday tanlash keraki kuzatish ma’lumotlari bо‘yicha XOY tekisligida yasalgan}

, (), .... ()

nuqtalar (15.3) tо‘g‘ri chiziq yaqinida yotsin.Shu maqsadda eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, quyidagi funksiyaning minimumini topamiz:

bu yerda - (15.3) tenglama bо‘yicha qiymatga mos ordinata; esa ga mos kuzatilayotgan ordinata; _.

Xususiy hosilalarni nolga tenglashtiramiz:

yoki

_(15.4)

Bu sistemani yechib, izlanayotgan parametrlarni topamiz.

(15.5)

Eslatma._{X ning Y ga} nisbatan _{regressiya tо‘g‘ri chizig‘ining} tenglamasini shunga о‘xshash topish mumkin, bu yerda X ning Y ga regressiya koeffitsiyenti.

1-misol. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi orasida sо‘rov о‘tkazildi. Sо‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda о‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Kutilgan ballar	3,2	3,0	3,10	2,8	3,4	3,8	4,0	3,7	2,9	4,5	4,6	4,2
Olingan ballar	4,0	3,8	3,5	3,0	4,4	4,2	4,6	4,5	3,1	4,1	4,8	4,0

Berilgan ma’lumotlar bо‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.

Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.

№
1	3,2	4,0	12,80	10,24	16,00	4,06	3,67
2	3,0	3,8	11,40	9,00	14,44	4,08	3,56
3	3,10	3,5	10,85	9,61	12,25	4,07	3,40
4	2,8	3,0	8,40	7,84	9,00	4,10	3,14
5	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,03	3,88
6	3,8	4,2	15,96	14,44	17,64	3,98	3,78
7	4,0	4,6	18,40	16,00	21,26	3,96	3,99
8	3,5	4,5	15,75	12,25	20,25	4,02	3,94
9	3,9	3,1	12,09	15,21	9,61	3,97	3,19
10	4,5	4,1	18,45	20,25	16,81	3,9	2,72
11	4,6	4,8	22,08	21,26	23,04	3,89	4,09
12	4,2	4,0	16,80	17,64	16,00	3,93	3,67
	44	48	177,94	145,05	195,66	48	44

Shunday qilib, =-0,12x+4,44.

_{2. Endi X ning Y ga regressiya tenglamasini tuzamiz.}

Shunday qilib, =0,53y+1,55.

12-Mavzu. Ikki o’lchovli tanlanmalarning geometrik tasviri, tarqoqlik diagrammasi.

Kuzatishlar soni katta bо‘lganda bir x qiymat n_x marta, bir y qiymat n_y marta, (x, y) juftlik n_xy marta kuzatilishi mumkin. Bunday hollarda kuzatish ma’lumotlari umumlashtirilib guruhlarga ajratiladi, ya’ni, n_xy chastotalar hisoblanib jadval kо‘rinishida yoziladi. Bu jadval korrelyatsion jadval deyiladi.

_{X va Y son belgilar chiziqli korrelyatsion bog‘langan bо‘lib, n ta bog’liqmas kuzatishlar asosida} juft natijalar olingan bо‘lsin. Bunda juftlik _{nij marta kuzatilgan va}

Natijalar quyidagi korrelyatsion jadval kо‘rinishida yoziladi.

			...
			...
			...
:	...	...	...	...	...
			...
			...

Bunda,

_{Bu holda, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i parametrlari uchun (15.4) sistema quyidagi kо‘rinishni oladi.}

_(15.6)

_{Bu yerda,}

_.

_{(15.6) sistemadan b ni yо‘qotib}

(15.7)

tenglamani hosil qilamiz, bu yerda,regressiya koeffitsiyenti

_(15.8)

_{Kо‘rinib turibdiki, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i}

_{nuqtadan о‘tadi.}

Agar _{ekanligini hisobga olsak, u holda,}

_{ni yozish mumkin, bu yerda,}

_{Tenglikning ikkala tomonini}

kasrga kо‘paytiramiz:

_{Bu tenglikni о‘ng tomonini r bilan belgilaymiz va uni korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataymiz.}

bundan,

U holda, (15.7) tenglama

(15.9)

kо‘rinishni oladi. Korrelyatsiya koeffitsiyenti chiziqli korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni baholash uchun xizmat qiladi.Korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati birdan oshmaydi, ya’ni

yoki

Agar korelyatsiya koeffitsiyentining moduli birga qancha yaqin bо‘lsa, bog‘lanish shuncha kuchli bо‘ladi.

Eslatma. 1. Agar r=0, bо‘lsa u holda X va Y lar chiziqli korrelyatsion bog‘lanmagan.

2. Agar bо‘lsa, X va Y lar funksional bog‘langan.

2-misol. Quyidagi korelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bо‘yicha Y ning X ga regressiya tenglamasini tuzing.

Y\X	5	10	15	20	25	30	35	40	nu
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nx	5	5	8	11	8	6	5	2	50

Yechish. Shartli variantalarga о‘tamiz.

bu yerda, C₁- coxta nol sifatida eng katta chastotaga ega x=20 varianta olindi, h₁=5 qadam qо‘shni variantalar orasidagi ayirmaga teng (10-5=5); xuddi shuningdek,

.

Xuddi shuningdek,

_{Endi shartli variantalar bо‘yicha korrelyatsion jadval tuzamiz:}

v\	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nυ
-2	2	1							3
-1	3	4	3						10
0	-	-	5	10	8				23
1	-	-	-	1	-	6	1	1	9
2	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nu	5	5	8	11	8	6	5	2	50

va larni hisoblaymiz:

_.

ni hisoblaymiz. Jadvaldan,

Izlanayotgan korrelyatsion koeffitsiyentni topamiz

Bu kattalik 1 (bir) soniga ancha yaqin bо‘lib, va (umuman, X va Y) lar orasida kuchli chiziqli bog‘lanish borligini kо‘rsatadi.

Shunday qilib, yuqoridagilarga asosan,

Topilganlarni (15.9) ga qо‘yamiz:

yoki

13-Mavzu. Tanlanmaning korrelyatsiya koeffitsiyenti-ikki o’lchovli tanlanmaning sonli xarakteristikasi.

_{X va Y son belgilar chiziqli korrelyatsion bog‘langan bо‘lib, n ta bog’liqmas kuzatishlar asosida} juft natijalar olingan bо‘lsin. Bunda juftlik _{nij marta kuzatilgan va}

Natijalar quyidagi korrelyatsion jadval kо‘rinishida yoziladi.

			...
			...
			...
:	...	...	...	...	...
			...
			...

Bunda,

_{Bu holda, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i parametrlari uchun (15.4) sistema quyidagi kо‘rinishni oladi.}

_(15.6)

_{Bu yerda,}

_.

_{(15.6) sistemadan b ni yо‘qotib}

(15.7)

tenglamani hosil qilamiz, bu yerda,regressiya koeffitsiyenti

_(15.8)

_{Kо‘rinib turibdiki, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i}

_{nuqtadan о‘tadi.}

Agar _{ekanligini hisobga olsak, u holda,}

_{ni yozish mumkin, bu yerda,}

_{Tenglikning ikkala tomonini}

kasrga kо‘paytiramiz:

_{Bu tenglikni о‘ng tomonini r bilan belgilaymiz va uni korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataymiz.}

bundan,

U holda, (15.7) tenglama

(15.9)

kо‘rinishni oladi. Korrelyatsiya koeffitsiyenti chiziqli korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni baholash uchun xizmat qiladi.Korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati birdan oshmaydi, ya’ni

yoki

Agar korelyatsiya koeffitsiyentining moduli birga qancha yaqin bо‘lsa, bog‘lanish shuncha kuchli bо‘ladi.

Eslatma. 1. Agar r=0, bо‘lsa u holda X va Y lar chiziqli korrelyatsion bog‘lanmagan.

2. Agar bо‘lsa, X va Y lar funksional bog‘langan.

2-misol. Quyidagi korelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bо‘yicha Y ning X ga regressiya tenglamasini tuzing.

Y\X	5	10	15	20	25	30	35	40	nu
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nx	5	5	8	11	8	6	5	2	50

Yechish. Shartli variantalarga о‘tamiz.

bu yerda, C₁- coxta nol sifatida eng katta chastotaga ega x=20 varianta olindi, h₁=5 qadam qо‘shni variantalar orasidagi ayirmaga teng (10-5=5); xuddi shuningdek,

.

Xuddi shuningdek,

_{Endi shartli variantalar bо‘yicha korrelyatsion jadval tuzamiz:}

v\	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nυ
-2	2	1							3
-1	3	4	3						10
0	-	-	5	10	8				23
1	-	-	-	1	-	6	1	1	9
2	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nu	5	5	8	11	8	6	5	2	50

va larni hisoblaymiz:

_.

ni hisoblaymiz. Jadvaldan,

Izlanayotgan korrelyatsion koeffitsiyentni topamiz

14-Mavzu. Eng kichik kvadratlar usuli. Chiziqli regressiya tanlanmasi

_{va parametrlarni shunday tanlash keraki kuzatish ma’lumotlari bо‘yicha XOY tekisligida yasalgan}

, (), .... ()

nuqtalar (15.3) tо‘g‘ri chiziq yaqinida yotsin.Shu maqsadda eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, quyidagi funksiyaning minimumini topamiz:

bu yerda - (15.3) tenglama bо‘yicha qiymatga mos ordinata; esa ga mos kuzatilayotgan ordinata; _.

Xususiy hosilalarni nolga tenglashtiramiz:

yoki

_(15.4)

Bu sistemani yechib, izlanayotgan parametrlarni topamiz.

(15.5)

Eslatma._{X ning Y ga} nisbatan _{regressiya tо‘g‘ri chizig‘ining} tenglamasini shunga о‘xshash topish mumkin, bu yerda X ning Y ga regressiya koeffitsiyenti.

1-misol. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi orasida sо‘rov о‘tkazildi. Sо‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda о‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Kutilgan ballar	3,2	3,0	3,10	2,8	3,4	3,8	4,0	3,7	2,9	4,5	4,6	4,2
Olingan ballar	4,0	3,8	3,5	3,0	4,4	4,2	4,6	4,5	3,1	4,1	4,8	4,0

Berilgan ma’lumotlar bо‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.

Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.

№
1	3,2	4,0	12,80	10,24	16,00	4,06	3,67
2	3,0	3,8	11,40	9,00	14,44	4,08	3,56
3	3,10	3,5	10,85	9,61	12,25	4,07	3,40
4	2,8	3,0	8,40	7,84	9,00	4,10	3,14
5	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,03	3,88
6	3,8	4,2	15,96	14,44	17,64	3,98	3,78
7	4,0	4,6	18,40	16,00	21,26	3,96	3,99
8	3,5	4,5	15,75	12,25	20,25	4,02	3,94
9	3,9	3,1	12,09	15,21	9,61	3,97	3,19
10	4,5	4,1	18,45	20,25	16,81	3,9	2,72
11	4,6	4,8	22,08	21,26	23,04	3,89	4,09
12	4,2	4,0	16,80	17,64	16,00	3,93	3,67
	44	48	177,94	145,05	195,66	48	44