“Statistik tahlil asoslari” fanidan onlen leksiyalar. 3-kurs Matematika yo’nalishi (O’zb guruhi)

7-Mavzu. Ikkita tanlanma birlashmasi o’rtachasi va dispersiyasini hisoblash. Umumiy, guruhlar orasidagi va guruhlar ichidagi dispersiyalarni hisoblash.

Guruhlash – bu birliklarni quyidagi tamоyil asоsida taqsimlashdir: bir guruhga kiritilgan birliklar оrasidagi farq, turli gurhlarga kiritilgan birliklar оrasidagi farqdan kam bo’lishi zarur.

Alоhida guruhlar uchun umumiy ko’rsatkichlar tipik va turg’un bo’lishi uchun:

1 birinchidan, guruhlash to’g’ri amalga оshirilgan bo’lishi;

2 ikkinchidan, guruhlarning sоni to’g’ri tanlanishi lоzim (n³ 5).

• Birinchi shartning ma’nоsi shuki, guruhlarga ajratishga har dоim ham zaruriyat bo’lavermaydi. Ikkinchi shart shuni anglatadiki, birliklar sоni yetarlicha ko’p bo’lganida (bir guruhda kamida beshta) umumiy ko’rsatkichlardagi tasоdifiy xarakteristikalar bir-birini so’ndiradi va qоnuniyatga aylangan turli xususiyatlar ko’prоq namоyon bo’ladi

Guruhlash o’tkazishdan maqsad – statistik bоg’likliklar va qоnuniyatlarni tоpish, оbyektni ta’riflash, o’rganilayotgan majmuaning strukturasini aniqlashdan ibоrat. Guruhlarga ajratishning ko’zlangan maqsad asоsida farqlanishi statistikada guruhlashning klassifikatsiyalanishida namоyon bo’ladi:

1. o’rganish lоzim bo’lgan xususiyatlar turlarga ajratiladi;

2. guruhning ana shu turlarni shakllantiruvchi yoki hоsil qiluvchi xususiyatlari tanlanadi;

3. intervallarning chegaralari o’rnatiladi;

4. ajratilgan guruhlar (guruh xususiyatlari kоmbinatsiyalari asоsida) turlar bo’yicha birlashtiriladi, ularning sоni aniqlanadi va ma’lumоtlar jadval ko’rinishida taqdim etiladi

Faraz qilaylik, X ning bosh to’plambdan ikkita n₁ va n₂ hajmli tanlanmalar olingan bo’lsin. Ularning har biriga mos tanlanmalarning o’rta qiymati va dispersiyasi lar hisoblangan bo’lsin. U holda ularning birlashmasi bo’lgan tanlanma uchun o’rta qiymati va dispersiyasi lar quyidagi formulalar orqali topiladi:

1. , ya’ni .

2. .

Misol. Birinchi tanlanma quyidagi 25 ta variantadan iborot:

3,7 3,85 3,7 3,78 3,6 4,45 4,2 3,87 3,33 3,76 3,75 4,03 3,75 4,18 3,8 4,75 3,25 4,1 3,55 3,35 3,38 3,3 4,15 3,95 3,5

Birinchi tanlanma uchun X₁ = 3,8; S₁² = 0,132.

Ikkinchi tanlanma quyidagi 25 ta variantadan iborot:

3,88 3,71 3,15 4,15 3,8 4,22 3,75 3,58 3,55 4,08

4,03 3,24 4,05 3,56 3,05 3,58 3,98 3,88 3,78 4,05

3,4 3,8 3,06 4,38 4,2

Bu tanlanma uchun X₂ = 3,76; S₂² = 0,131. U holda umumiy tanlanma uchun

, .

Umumiy, guruhlararo va guruhlar ichidagi duspersiyalar

Faraz qilaylik, n₁, n₂, …, n_k hajmki k ta tanlanmakardan bitta n = n₁ + n₂ +…+ n_k

Hajmli tanlanma tuzilgan bo’lsin. va S², S₁², …, S_k² lar mos ravishda tanlanma o’rta qiymati va dispersiyalari bo’lsin. Yuqoridagi formulalar quyidagicha umumlashadi:

, .

Bunda S umumiy dispersiya deyiladi. S₁², …, S_k² lar guruhning ichidagi dispersiyalar deyiladi.

miqdor guruhlaroro (guruhlar o’rasidagi, o’rtasidagi) dispersiya deyiladi.

Bu miqdor umumiy o’rta qiymatning alohoda guruhlar o’rta qiymatlaridan kvadratik chetlanishini, xatoligini yoki qanchalik farqlanishini ko’rsatadi. Biz umumiy dispersiyani guruhlaroro va guruhning ichidagi dispersiyalar ortachasi yig’indisiga ajratdik. Bu dispersiyani yoyish qoidasi deyiladi.

Bunday guruhlash yordamida bоg’liqlikni yana bir ko’rsatkich bo’yicha o’lchash mumkin. Bu - empirik kоrrelyatsiоn munоsabat. Bu ko’rsatkich yunоn alifbоsining h (eta) harfi bilan belgilanadi. U dispersiya yoyish qоidasiga asоslangan, ya’ni umumiy dispersiya guruh ichidagi va guruhlararо dispersiyalarning yig’indisiga teng.

Qоldiq dispersiya (x оmil o’rganilayotganida qоldiq tebranuvchanligi) quyidagi fоrmula yordamida aniqlanadi:

Bu yerda y_ij — j-guruhdagi i-birlik uchun y xususiyatining qiymati, j= 1, 2, 3, ..., t;

• y_j j-guruhdagi xususiyatning o’rtacha qiymati; n_j — j-guruhdagi birliklar sоni

• Guruhlararо dispersiyani o’rganilayotgan оmil (va u bilan bоg’liq bo’lgan bоshqa оmillar) vujudga keltiradi, shuning uchun uni оmil dispersiyasi deb ham nоmlashadi. Uni aniqlash fоrmulasi:

Dispersiyalarni qo’shish (yoki yoyish) qоidasi quyidagicha:

Yoki

Bundan, empirik kоrrelyatsiоn munоsabat o’rganilayotgan оmil natijaviy xususiyatning umumiy tebranishining qancha qismini keltirib chiqarishini ko’rsatadi. Mоs ravishda bu ko’rsatkich оmil dispersiyasining natijaviy xususiyatning umumiy dispersiyasiga nisbati kabi hisоblanadi:

determinatsiya kоeffitsienti,

yoki empirik kоrrelyatsiya munоsabati deyiladi.

Bu ko’rsatkich [0, 1] intervalidagi qiymatlarni qabul qiladi: 1 ga qanchalik yaqin bo’lsa, bоg’liqlik shunchalik kuchli bo’ladi va, aksincha. Bоg’lanishning kuchi quyidagicha bahоlanadi:

agar

• h < 0,3 — kuchsiz bоg’lanish;

• 0,3 < h< 0,5 — sezilarli bоg’lanish;

• 0,5 < h < 0,7 — o’rtacha kuchli bоg’lanish;

• h> 0 7 — kuchli bоg’lanish.

Uyga vazifa.

Quyida berilgan ikkita tanlanma birlashmasi o’rtachasi va dispersiyasini hisoblang. Ularning umumiy, guruhlar orasidagi va guruhlar ichidagi dispersiyalarni hisoblang

1. Birinchi tanlanma: 41 41 29 15 41 43 42 34 41 30 23 48 50 36 35 46 28 46 50 41 55 27 43 53 48 47 34 35 29 42 30 35 38 41 36 38 45 59 44 43.

Ikkinchi tanlanma:8 14 7 18 3 9 4 1 6 12 2 8 1 3 4 6 18 4 25 4 34 6 5 6 16.

8-Mavzu. Kumulyativ yig’indi. Lorens chizig’i va konsentratsiya ko’rsatkichi.

Jamlanma yig’indiga kumulyativ yig’indi deyiladi. Biz yuqorida bunday jamlanma yig’indilarni ko’rgan va hisoblagan edik.

Lorens chizig’i resurslarni (mablag’, yer, ishchi kuchi va h.k.) uning egalari o’rtasida qanday taqsimlanganligini ifodalaydi. Agar resurslarning asosiy qismi kamchilikni tashkil qiladigan odamlar qo’lida bo’lsa, u holda resurslar yuqori darajada jamlangan (konsentratsiylangan) deyiladi. Jamlanish darajasi maxsus koeffitsientlar yordamida baholanadi. Resurslarni notekis taqsimlanganini Lorens chizig’i orqali ham kuzatish mumkin. Lorens chizig’ini qurishda koordinata o’qining gorizantal o’qiga protsentlarda resurs egalarining ulushi, vertikal o’qda esa – resurslar hajmining nisbiy chastotasi foyizlarda joylashtiriladi. Hosil qilingan nuqtalar kesmalar bilan birlashtiriladi.

Misol sifatida 1964 yil holatiga AQShdagi fermerlar egalik qilgan er maydonlarining taqsimotini keltiramiz (2.5-jadval).

Bu erda resurslar yer, resurs egalari – fermerlar. Lorens chizig’i 2.7 rasmda keltirilgan.

Agar yer maydoni tekis taqsimlanganda edi 5.7% fermerlar barcha yer maydonining 5.7% ga, 25.9% fermerlar barcha yer maydonining 25.9% ga egalik qilgan bular edi va h.k.. bu holda Lorens chizig’i koordinata burchagining bissiktrissasidan iborat bo’lar edi. Bu bissiktrissa tekis taqsimot chizig’i deyiladi. Lorens chizig’i tekis taqsimot chizig’idan qanchalik kuchli farqlansa, resurslar konsentratsiyasi (jamlanishi) shunchalik kuchli bo’ladi. Bizning misolda barcha yerning 52.7% i 4.6% yirik fermlar qo’lida jamlangan ekan. Qolgan 95,4% katta bo’lmagan fermerlar yerning 47.3% ga egalik qilar ekan. Jamlanish darajasini tekis taqsimot chizig’i va Lorens chizig’i orasidagi A sohaning (2.7-rasm) yuzini hisoblash bilan ham baholash mumkin.

Agar kvadratning yuzini 1 dab qabul qilsak, u holda A soha yuzining ikkilangani 1 minus B soha yuzining ikkilanganiga teng bo’ladi. B sohaning yizini uni tashkil etgan trapetsiyalar yuslari yig’indisi kabi onson topish mumkin. Shu zayilda Djini koeffitsiyenti aniqlanadi.

bu yerda k – guruh intervallari soni;

– resurs egalari guruhining i-intervali nisbiy chastotasi;

– resurslar guruhining i-intervali nisbiy chastotasi;

– resurslar guruhi jamlanmasining i-intervali nisbiy chastotasi.

2.8-rasmda B sohani tashkil etgan i-trapetsiya tasvirlangan va uning yuzini hisoblash keltirilgan.

U holda

Bizning misolimizda

Konsentratsiya darajasini bahovlavchi boshqa koyfitsiyent Lorens koyfitsiyenti deyiladi. Quyidagi yig’indini qaraylik

Modul xossasiga ko’ra

Demak, 2 soni bu yig’indi uchun chegara bo’ladi, agar amalda, 100% resurslar ko’p sonli kichik fermerlar qo’lida bo’lsa. Shuning uchun bu yig’inda 2 ga qanchalik yaqin bo’lsa, konsentrstsiya shunchalik yuqori, ya’ni taqsimot shunchali notekis bo’ladi.

Lorens koyfitsiyenti quyidagicha aniqlanadi:

Bizning misolimiz uchun:

Topilgan Djini va Lorens koyfitsiyentlari shuni ko’rsatadiki, yerni yirik fermerlar qo’lida jamlanish darajasi, y’ani konsentrstsiyasi (notekis taqsimlanish darajasi) yuqori ekan.

Masalalar:

1. Lorens chizig’ini quring, Djini va Lorens koyfitsiyentlarini hisoblang.

Ish bilan band bo’lgan korxona-lar guruhi	[1-500)	[500-1000)	[1000-5000)	[5000-10000)	10000
Korxonalar soni	4941	1173	1408	202	94
Ish bilan bandlar soni, mln hisobida	0.99	0.84	2.92	1.36	1.81

2. Lorens chizig’ini quring, Djini va Lorens koyfitsiyentlarini hisoblang.

Jon boshiga mos keluvchi daromad bo’yicha aholi guruhi (umumiy aholi sonining 10% dan)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Jami daromaddan ulush (%da)	2.3	5.1	6.0	6.9	7.8	8.6	9.7	11.5	15.8	26.3

9-Mavzu. Normal chiziqni tajribaviy ma’lumotlar asosida qurish. Asimmetriya va ekssess.

Avval normal taqsimot haqidagi nazariy ma’lumotlar keltiramiz

Amaliyotda uchraydigan tasodifiy miqdorlar bо‘ysunadigan taqsimot qonunlari orasida kо‘proq normal qonun bilan ish kо‘riladi.

Normal taqsimot deb

(8.3)

zichlik funksiya bilan tavsiflanadigan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotiga aytiladi, bu yerda a normal taqsimot matematik kutilmasi: esa о‘rtacha kvadratik chetlanishi, ya’ni

(8.3) funksiya musbat va

.

Normal taqsimotning taqsimot funksiyasi:

(8.4)

parametrli normal taqsimot stardant normal taqsimot deyiladi, uning zichlik funksiyasi

(8.5)

kо‘rinishda bо‘ladi.Taqsimot funksiyasi esa

,

bu yerda, ekanligini tekshirish oson. Normal taqsimotning taqsimot funksiyasini

(8.6)

Laplas funksiyasidan foydalanib topish mumkin.

.

va funksiya juftligidan,

.

Demak,

yoki (8.7)

Bu ikki va funksiya bizga tanish va ularning qiymatlar jadvali mavjud.Ularning ba’zi xossalarini keltiramiz.

zichlik funksiyasi:

1. Butun Ox sonlar о‘qida aniqlangan va musbat.

2. Juft funksiya, demak, grafigi Oy о‘qiga nisbatan simmetrik.

3. oraliqda о‘suvchi; da kamayuvchi.

4. , demak, Ox о‘qi gorizontal asimptota.

5. x=0 da - yagona maksimumga ega.

6. Grafigi:

6-chizma

Endi taqsimot funksiyasining xossalarini keltiramiz:

1. Butun son о‘qida aniqlangan va uzluksiz.

2. Funksiya toq, demak, uning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik.

3. Funksiya butun son о‘qida о‘suvchi.

4. ; ;

5.Grafigi

7-chizma

1-izoh. Standart normal taqsimotning (o, x) intervalga tushish ehtimolligi

(8.8)

2-izoh. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning intervaldagi qiymatni qabul qilish ehtimolligi

(8.9)

2-misol. X tasodifiy miqdor normal qonun bо‘yicha taqsimlangan. Bu miqdorning matematik kutilmasi , о‘rtacha kvadratik chetlanishi . X ning (0,4; 0,6) intervalga tushish ehtimolligini toping.

Yechish =

=

Ko’pgina belgilar normal qonunga bo’ysunadi, masalan,insonning bo’yi, snaryadning ucnish masofasi va sh.k.

Normal taqsimot qonunining grafigi normal egri chiziq yoki Gauss egri chizig’i deyiladi. a va σ parametrli normal egri chiziqning grafigi:

8-chizma 9-chizma

Normal egri chiziq x=a to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’lib, x=a nuqtada maksimumga: ,

da esa ikkita burilish(egilish) nuqtasiga ega(8- chizma) .

a va σ parametrlarning qiymatlarida normal egri chiziq qanday o’zgarishini aniqlaymiz. Agar va a parametr, ya’ni taqsimotning simmetriya markazi o’zgarsa u holda normal egri chiziqning ko’rinishi o’zgarmasdan u Ox o’qi bo’ylab siljiydi(10- chizma).

10- chizma 11- chizma

Agar va σ parametr o’zgarsa u holda normal egri chiziqning ordinatasi o’zgaradi: σ ning o’rtib bo’rishi bilan chiziqning ordinatasi kamayib boradi, chunki taqsimotning har qanday chizig’i bilan chegaralangan shaklning yuzi birga teng. Shu sababli normal egri chiziq Ox o’qi bo’ylab yoyilib tekislanib boradi; σ ning kamayib bo’rishi bilan chiziq yon tomondan siqilib yuqoriga cho’zilib boradi. (11-chizma).Shunday qilib, a parametr normal egri chiziqning markazini, σ parameter esa uning shaklini tavsiflaydi.

Normal chiziqni tajribaviy ma’lumotlar asosida qurishning usullaridan biri quyidagicha:

1. berilgan tanlanma asosida va lar topiladi;

2. ordinatani formula orqali topiladi, bu yerda kuzatilayotgan chastotalar yig’indisi, ikki qo’shni variantlar orasidagi farq:

3. Kordinatalar tekisligida nuqtalar quriladi va ular chiniq (yoki egri) chiziq bilan birlashtiriladi.

Hosil bo’lgan grafikni normal chiziq bilan yaqinlagi tanlanmani normal taqsimlanganligini ko’rsatadi.

Misol. Normal chiziqni quyidagi taqsimot uchun quring:

Yechish. Tanlanmaning o’rta qiymati va dispersiyasini ko’paytirish usuli bilan topamiz: va . Endi kerakli qiymatlarni topamiz:

Rasmda nazariy normal chiziq va kuzatilayotgan chastotalar poligani ko’rsatilgan.

Bu chiziqlarni taqqoslasak, nazariy va tanlanma poligoni bir-biriga yaqin.

Nisbiy chastotalar taqsimotini empirik taqsimot deyiladi. Empirik taqsimotni ctatistika fani o’rganadi.

Ehtimolliklar taqsimotini nazariy taqsimot deyiladi. Nazariy taqsimotni ehtimollar nazariyasi fani o’rganadi.