3. Моделі згладжування часових рядів

Основною метою згладжування ряду є виділення трендової компоненти процесу. При згладжуванні часового ряду в більшій або меншій мірі нівелюється вплив нерегулярної складової відгуку, так що згладжений ряд фактично стає (в рамках класичної моделі) суперпозицією тренду і циклічної (а, можливо, й сезонної) складових процесу, що полегшує його подальше дослідження. Зазви­чай використовується метод ковзального середнього чи метод експоненційного згладжування.

Метод ковзального середнього

Особливості методу. Метод украй суб'єктивний і результати згладжування дуже залежать від величини періоду згладжування: при невеликих періодах не вдається виявити трендову компоненту сильно зашумленого процесу, при великих – відбуваються значні втрати даних на кінцях аналізованого періоду.

Поняття ковзальних середніх. Ковзальне середнє порядку L – це часовий ряд, що складається із середніх арифметичних L сусідніх значень Y_i , по всіх можливих значеннях часу. В якості L вибирається непарне число, як правило, 3, 5 або 7, такі схеми називають відповідно триточковою, пятиточковою і семиточковою.

Розглянемо триточкову схему. Середнє розраховується за трьома значеннями Y_i , перше з яких відноситься до минулого періоду, друге – до шуканого й третє – до майбутнього. Оскільки для i = 1 не існує минулого значення, то в першій точці неможливо розрахувати згладжене значення. Для i = 2 згладжене значення буде середнім арифметичним Y_i при i = 1, 2, 3; для i = 3 середнє арифметичне береться для 2-го, 3-го і 4-го значень Y_i ; в останній точці інтервалу ковзальне середнє також неможливо розрахувати через відсутність майбутнього значення. В загальному випадку обчислення середніх можна подати як

де MA_i – значення ковзального середнього за L-точковою схемою в i-ому елементі ряду.

Як випливає з формули, для схеми з L точок перше згладжене значення припадає на (L–1)/2+1-й момент часу, і в такий спосіб на кінцях вихідного інтервалу буде губитися по (L–1)/2 вихідних точок; так, для 5-точкового згладжування будуть втрачені два перших і два останніх значення.

Експоненційне згладжування

Особливості методу. Метод експоненційного згладжування також дає можливість оцінити ступінь впливу трендової і/або циклічної компоненти на відгук системи, але він можна використовувати і для короткотермінового прогнозування майбутньої тенденції на один період вперед. Саме тому метод має явну перевагу над попереднім.

Зміст методу. Назва методу походить з того факту, що при його застосуванні отримують експоненційно зважені ковзальні середні по всьому часовому ряду. При експоненційному згладжуванні враховуються всі попередні спостереження – попереднє враховується з максимальною вагою; те, що передує йому, – із дещо меншою, "найстарше" спостереження впливає на результат з мінімальною статистичною вагою.

Алгоритм розрахунку експоненційно згладжених значень у будь-якій і-точці ряду заснований на трьох величинах: даному спостереження Y_i в і-й точці; розрахованому згладженому значенні для попередньої точки ряду E_i-1 і деякому заздалегідь заданому коефіцієнті згладжування W, постійному для всього ряду. Зрозуміло, що в першій точці ряду немає згладженого значення для попередньої точки, і згладженим значенням E₁ вважається сама величина відгуку Y₁, що спостерігається в цій точці. Для всіх наступних точок діє просте правило обчислень:

E_i = W*Y_i + (1 – W) * E_i-1 .

Підбір коефіцієнта згладжування. Об'єктивного критерію при виборі коефіцієнта згладжування W не існує. При рівномірному ступені згладжування з використанням методу експоненційного згладжування і методу ковзального середнього коефіцієнт W пов'язаний з інтервалом L простим співвідношенням W = 2 / (L + 1); у такий спосіб згладжування за 5-точковою схемою еквівалентне за своїм впливом на вихідні дані експоненційному згладжуванню з коефіцієнтом W = 0.33. Хоча, загалом, W може приймати будь-яке значення з діапазону 0 < W < 1, зазвичай обмежуються інтервалом від 0.2 до 0.5. При великих значеннях W у більшій мірі враховуються поточні спостереження відгуку і навпаки, при низьких його значеннях згладжена величина визначається в більшій мірі минулою тенденцією розвитку, ніж поточним станом відгуку системи.