18. Определение определенного интеграла. Его геометрический и экономический смысл.

§1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть ф-ия y=f(x) определена на отрезке [a;b], a<b.

Выполняем следующие действия:

1.с помощью точек

2.в каждом частичном отрезке , i= 1,n выберем произвольную точку и вычислим значение ф-ии в ней: f( )

3.умножим найденное значение ф-ии f( ) на длину = ∆ соответствующего частичного отрезка: f( )*∆

4.составим сумму = f( )∆ + f( )∆ +…+ f( )∆ = эта сумма наз-ся интегральной суммой ф-ии y=f(x) на отрезке [a;b]

Обозначим λ длину наибольшего частичного отрезка λ=max , i= 1,n

5. найдем предел интегральной суммы, когда n→ , так что λ→0

Если при этом интегральная сумма имеет предел S, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число S наз-ся определенным интегралом ф-ии y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается: . Итак = . Число a наз-ся нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, подынтегральной ф-ей, подынтегральным выражением, [a;b] - отрезком интегрирования.

Определенный интеграл-число!

Теорема1.1(коши): если ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл существует. Непрерывность ф-ии явл-ся достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных ф-ий, в частности для всякой ограниченной на отрезке ф-ии, имеющей на нем конечное число точек разрыва. 1.1.геометрический смысл интегральной суммы и определенного интеграла.

Опр: фигура ограниченная отрезком [a;b] оси ОХ, прямыми х=а, x=b и графики ф-ии y=f(x)≥0 наз-ся криволинейной трапецией.

Найдем площадь этой трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n частичных отрезков точками , i= 1,n. В каждом отрезке , выберем произвольную точку , и вычислим в ней значение ф-ии

f( ). Произведение f( )* ∆ равно площади прямоугольника с основанием ∆ и высотой f( )

Сумма все таких произведений

= f( )∆ +…+ f( )∆ = равна площади ступенчатой фигуры и приближенна равна площади криволинейной трапеции: S ≈ = . ССС уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигуры и точность полученной формулы увеличивается.

Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры, когда n неограниченно возрастает, так что: λ=max → 0 : S = = .

Т.е. S= .

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенны интеграл от неотрицательной ф-ии численно равен площади криволинейной трапеции.

1.2.Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть ф-ия u=f(x) описывает изменения производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u произведенной за промежуток времени [0;T]. Объем ∆u продукции, произведенной за некоторый промежуток времени [t; t+∆t] задается формулой ∆u= f(c)∆t, c ϵ [t; t+∆t]. Разобьем отрезок [0;T] на промежутки времени точками 0= = T. Для величины объема продукции ∆ произведенной за промежуток времени [ ],

∆ = , 1,n.

Тогда: u ≈ = . При стремлении λ=max → 0 каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому u= . Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем u = , т.е. объем продукции произведенный за промежуток времени Т, численно равен определенному интегралу от производительности труда на промежутке от 0 до Т.