49. Необходимый признак сходимости ряда.
Если
ряд
сходится, то общий член ряда
стремится к нулю при
,
т.е.
0
50.Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
1-й признак сравнения:
Если
для членов ряда сумма
(1.1),
(1.2) справедливо равенство
для всех
,
то
Из сходимости ряда (1.2) следует сходимость ряда
Из расходимости ряда (1.1) следует расходимость ряда (1.2)
2-й признак сравнения:
Пусть
и
ряды с положительными членами, причем
существует конечный и отличный от нуля
предел
.
Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.
51.Достаточный признаки сходимости числовых рядов с положительными членами(признак Даламбера и радикальный признак Коши)
Первый
признак сравнения
Если для членов
рядов
(2)
и
(3)
справедливо неравенство 0≤
≤
для всех n≥
≥N
Из
сходимости ряда(3) следует сходимость
ряда(2)
Из расходимости ряда(2) следует
расходимость ряда(3)
Второй признак
сравнения
Пусть
и
–ряды с положительными членами, причем
существует конечный и отличный от нуля
предел.
=А≠0
Тогда
ряды
и
сходятся или расходятся одновременно
признак
Даламбера : пусть
– ряд с положительными членами, и
существует конечный предел
-
некоторое число. Тогда, если
то ряд сходится, а если
то- расходится. Если
то
ряд может сходиться или расходиться.
Радикальный признак Коши
Этот
признак во многом схож с признаком
Даламбера
Теорема(Радикальный
признак Коши)
Пусть дан ряд
с положительными членами и существует
конечный и бесконечный предел
=в
Тогда
ряд сходится при в<1 и расходится при
в>1 ,при в=1 ,вопрос о сходимости ряда
остается открыт .
52.Интегральный признак сходимости числовых рядов
Интегральный признак Коши
Если
неотрицательная непрерывная функция
f(x)
монотонно убывает на промежутке
[в;+∞),в≥1,а
лены ряда имеют вид
имеют вид
=f(x),п=1,2…
,то ряд и несобственный интеграл
сходится или расходятся одновременна.
Радикальный признак Коши
Этот признак во многом схож с признаком Даламбера Теорема(Радикальный признак Коши) Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный и бесконечный предел =в Тогда ряд сходится при в<1 и расходится при в>1 ,при в=1 ,вопрос о сходимости ряда остается открыт .
53.Гармонический ряд. Обобщённый гармонический ряд. Ряд гармонической прогрессии.
Гармонический
ряд представляет собой сумму, составленную
из бесконечного количества членов,
обратных числам натурального ряда: т.е.
сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное
число, изменяющееся от единицы до
бесконечности.
Ряд назван гармоническим
так как каждый его член, начиная со
второго, является гармоническим средним
двух соседних. Гармонический ряд это
1+1\2+1\3+1\4...и так далее где 1, 2, 3, 4, ... -
натуральные числа, они стоят по порядку
в знаменателе гармонического ряда. (
При q по модулю <1 ряд сходится и его сумма равна
При q по модулю
1 ряд расходится.
Обобщённый гармонический ряд
=1+
+
+
сходится при p > 1 и расходится при 0<p ≤ 1.
Последовательность чисел { } называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
=
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
=
+
+….+
=
q
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен. В противном случае прогрессия расходится.