31. Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному

Предположим, что область D можно задать в виде сис-мы неравенств

Геометрически это означает следующее

Т.о., если область D имеет рассмотренный вид,

то

Если область D можно задать в виде сис-мы неравенств ,

то

Интегралы, стоящие в правых частях равенств (1) и (2) называются повторными или двукратными; они отличны друг от друга порядком интегрирования.

Интеграл, содержащий f(x;y), называется внутренним интегралом, другой – внешним.

повторный интеграл внеш; внутренний интегр.

При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая перед знаком дифференциала, считается постоянной; затем вычисляется внешний интеграл.

Каждый из них вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как определенный интеграл.

32. Понятие ду, его общего и частного решений.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков:

Примеры уравнений в частных производных второго порядка:

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Например, общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Например, частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1, является и .

33. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Одними из основных задач теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х0)=у0.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ⊂ R² .

Функция y = y(x) является решением задачи Коши  

если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ∈ D   для всех x из [a, b] ,   y(x₀) = y₀ , x₀∈[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x;y) и ее частная производная (x;y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x0, y0) принадлежит области D.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ, x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши 

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ, x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы только в малой окрестности точки x0 .