11. Алгоритм интегрирования рациональных дробей

1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

12. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

Функцию с переменными sinx и cosx, над которой выполняются рациональные действия (сложения, вычитания, умножения, деления) принято обозначать , где R – знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональных функций универсальной тригонометрической подстановкой.

Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка вида .

13. Универсальная тригонометрическая подстановка

Подстановка .

Указанная подстановка применяется при интегрировании, когда подынтегральное выражение рационально зависит от тригонометрических функций. Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции.

Тогда ;

;

;

Некоторые правила вычисления интегралов от тригонометрических функций

1. Если функция нечетна относительно , т.е. , то подстановка .

2. Если функция нечетна относительно , т.е. , то подстановка .

3. Если функция четна относительно и , то интеграл рационализируется подстановкой

Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

14.Интергралы типа

Для вычисления интегралов такого типа используются следующие приемы:

1)подстановка sin x=t,если n-целое положительное нечетное число

2)подстановка cos x=t,если m-целое положительное нечетное число

3)формулы понижения порядка

, ,

4)подстановка tgx=t,если m+n-четное отрицательное целое число

15.Интегралы вида

В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удается рационализировать ,т.е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей

Интегралы вида

-целые числа.

Подстановка ,где s-общий знаменатель дробей и т.д.

16.Интеграл вида

Под радикалом выделить полный квадрат:

= и сделать подстановку

При этом интеграл приводится к табличному.

17.Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т.е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что “берется”,т.е интеграл выражается через элементарные функции(или интеграл вычисляется).Если же интеграл не выражается через элементарные функции,то говорят, что интеграл “не берется”(или “его нельзя найти”)

Так, например, нельзя взять интеграл Т.к. не существует элементарной функции ,производная от которой была бы равна

Примеры “неберущихся” интегралов

– интеграл Пуассона(теория вероятностей)

– интегральный логарифм (теория чисел)

, –интегралы Френеля (физика)

, – интегралы синус и косинус

Первообразные от функции и др. хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента x.