54.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Ряд вида

a1-a2+a3-a4+…+(-1)^n+1 an=

где an>0 для всех n N,называется знакочередующимся.

Признак Лейбница

Пусть дан знакочередующийся ряд. Если выполнены два условия

1) последовательность абсолютных величин член ряда монотонно убывает:

a1>a2>a3>….an>…

2) общий член ряда стремится к нулю при n : an=0,то ряд сходится. При этом сумма ряда удовлетворяет неравенством 0<S<a1

Отброшенный ряд представляет собой также знакочередующийся ряд

(-1)^n+1(an+1-a n+2+…)

Сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. Sn<an+1.

55.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости.

Знакочередующейся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд

, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов называется знакопеременным.

Для знакопеременных рядов имеет место след.общий достаточный признак сходимости:

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд и сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда ,то сходится и сам знакопеременный ряд.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся ,если ряд, составленный из модулей его членов ,сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся ,если ряд из модулей его членов расходится ,а сам знакочередующийся ряд сходится.

Свойства абсолютно сходящихся рядов:

1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S,то ряд полученный из него перестановкой членов так же сходится и имеет ту же сумму S что и исходный ряд.

2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать(вычитать).В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна + (или - ).

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условной сходимости свойства не имеют места .Поэтому действие над рядами нельзя производить ,не убедившись в их абсолютной сходимости. Для ее установления используются все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

56.Степенные ряды. Область сходимости, радиус сходимости

Ряд вида (ряд7),где , ,… …-действительные (или комплексные)числа называется степенным рядом .Числа , ,… … называются коэффициентами степенного ряда -действительная переменная. (Ряд7) расположен по степеням X.Рассматривают также степенной ряд , расположенный по степеням ,т.е

Ряд вида (ряд8),где

–некоторое постоянное число.

Сходимость степенных рядов.

Область сходимости степенного ряда (7)содержит по крайней мере одну точку(ряд сходится в точке ),а ряд (8) сходится в точке .

Об области сходимости можно судить исходя из теоремы Абеля.

Если степенной ряд сходится в точке , ,то он абсолютно сходится в каждой точке ,для которой .Следствие: если степенной ряд расходится при некотором значении ,то он расходится и при всех значениях ,для которых .

Интервал сходимости ,радиус сходимости степенного ряда.

Интервал сходимости ряда(7)и ряда(8) называется такой интервал ,что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке лежащей вне промежутка

ряд расходится.

На границах интервала сходимости ,т.е. в точках ряд может как сходится ,так и расходится. Число называется радиусом сходимости степенного ряда.

Тогда ряд(7) сходится лишь в одной точке ,тогда .Если же ряд(7) сходится при всех значениях (т.е во всех точках числовой оси),то .На концах интервала сходимости

(т.е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для ряда(7) радиус абсолютной сходимости .

Воспользовавшись признаком Коши: