16. Кривые Безье

В начале 60-х гг. Безье предложил новую форму уравнения кривой и использовал ее в систе­ме поверхностного моделирования . Эта кривая получила назва­ние кривой Безье (Bezier curve). Она строится по вершинам многоугольника, за­ключающего ее в себе. Вершины сопрягаются соответствующими функциями подобно тому, как это делается при построении эрмитовой кривой. Безье выбрал функции сопряжения таким образом, чтобы получающаяся кривая удовлетворя­ла следующим требованиям.

• Кривая проходит через первую и последнюю вершины многоугольника.

• Направление вектора касательной в первой точке кривой совпадает с направ­лением первого отрезка многоугольника. Аналогичным образом, по­следний отрезок многоугольника определяет направление касательной в ко­нечной точке кривой.

• Производная степени n в начальной (или конечной) точке кривой определя­ется положением первых (или последних) n + 1 вершин многоугольника. Это свойство очень удобно при соединении двух кривых Безье, если требуется удовлетворить требованию непрерывности высших производных в точке со­единения. Вообще говоря, второе свойство есть частный случай данного свой­ства.

При изменении порядка вершин многоугольника на противоположный полу­чается та же самая кривая.

Задавшись этими требованиями, Безье выбрал в качестве функций сопряжения полином Бернштейна:

(1)

где

Если функцию сопряжения (1) применить к вершинам многоугольника, по­лучается уравнение кривой Безье:

(2)

где Р, — радиус-вектор n-й вершины. Вершины многоугольника называются за­дающими (control vertices), как и сам многоугольник (control polygon). Из форму­лы (2) видно, что для кривой, заданной n + 1 точками, максимальная степень будет . Таким образом, степень кривой Безье определяется количеством задаю­щих точек. Кривые Безье разных степеней с разным количеством задающих то­чек показаны на рис. 4.1

Рис. 4.1. Кривые Безье различных степеней

1. Компоненты сапр, основные концепции

Деятельность по созданию программных продуктов и технических средств для автоматизации проектных работ имеет общее название - САПР (системы автоматизированного проектирования).

Таким образом, любая программа, работающая с компьютерной графикой, так же как и любое приложение, используемое в инженерных расчетах, относится к системам автоматизированного проектирования.

Компоненты многофункциональных систем САПР традиционно группируются в три основных блока CAD, САМ, САЕ.

Модули блока CAD (Computer Aided Designed) предназначены в основном для выполнения графических работ. Наиболее известными CAD-системами являются: AutoCAD, MicroStation, IntelHCAD, CADdy, КОМПАС.

CAM – Computer Aided Manufacturing. Общий термин для обозначения системы автоматизированной подготовки производства. Традиционно исходными данными для таких систем были геометрические модели деталей, полученных из систем CAD. Модули САМ предназначены в основном для решения задач технологической подготовки производства.

CAE – Computer Aided Engineering – система автоматического анализа проекта. Общий термин для обозначения информационного обеспечения условий автоматизированного анализа проекта, имеет целью обнаружение ошибок или оптимизация производственных возможностей. Модули САЕ предназначены в основном для инженерных расчетов, анализа и проверки проектных решений.

САПР – система, объединяющая технические средства, математическое и программное обеспечение, параметры и характеристики которых выбирают с максимальным учетом особенностей задач инженерного проектирования и конструирования.

В САПР CAD-системы являются базовыми для создания проектной документации сооружений. Они могут использоваться самостоятельно, в упрощенной форме, когда проектировщик создает отдельные элементы чертежа (примитивы) – такой подход реализует лишь возможности универсальных программ, не привязанных к задачам конкретной отрасли. Крупный эффект достигается при использовании больших программных модулей, относящихся к классу САМ-систем и САЕ-систем.

В сфере инженерных изысканий широкое применение получил комплексы, решающие и чисто строительные задачи, связанные с выполнением земляных работ – проекты вертикальной планировки, проектирование дорог и т.д. (CREDO_DAT, CREDO_GEO, ТОПОКАД, ПЛАНКАД, RGS).

В САПР обеспечивается удобство использования программ за счет применения средств оперативной связи инженера с ЭВМ, специальных проблемно-ориентированных языков и наличия информационно-справочной базы.

Структурными составляющими САПР являются подсистемы, обладающие всеми свойствами систем и создаваемые как самостоятельные системы. По назначению подсистемы САПР разделяют на два вида: проектирующие и обслуживающие.

Проектирующие подсистемы непосредственно выполняют проектные процедуры и операции. Примерами проектирующих подсистем могут служить подсистемы геометрического трехмерного моделирования объектов, изготовления конструкторской документации, схемотехнического анализа, трассировки соединений в печатных платах, подсистема проектирования схемы управления, подсистема технологического проектирования.

Обслуживающие подсистемы обеспечивают функционирование проектирующих подсистем, их совокупность часто называют системной средой (или оболочкой) САПР. Типичными обслуживающими подсистемами являются подсистемы управления производственной информацией, как проектными данными, так и процессами разработки (PDM – Product Data Management), управления процессом проектирования пользовательского интерфейса для связи разработчиков с ЭВМ (DesPM – Design Process Management), CASE (Computer Aided Software Engineering) для разработки и сопровождения программного обеспечения САПР, обучающие подсистемы для освоения пользователями технологий, реализованных в САПР, подсистема графического отображения объектов проектирования; подсистема документирования; подсистема информационного поиска и др.

Структурное единство подсистем САПР обеспечивается строгой регламентацией связей между различными видами обеспечения, объединенных общей для данной подсистемы целевой функцией. Различают семь видов обеспечения:

— техническое (ТО), включающее различные аппаратные средства (ЭВМ, периферийные устройства, сетевое коммутационное оборудование, линии связи, устройства вычислительной и организационной техники, средства передачи данных, измерительные и другие устройства и их сочетания);

— математическое (МО), объединяющее математические методы, модели и алгоритмы для выполнения проектирования;

— программное (ПО), включающее документы с текстами программ, программы на машинных носителях и эксплуатационные документы;

— информационное (ИО), состоящее из документов, содержащих описание стандартных проектных процедур, типовых проектных решений, типовых элементов, комплектующих деталей, материалов и другие данные; вся совокупность используемых при проектировании данных называется информационным фондом САПР;

— лингвистическое (ЛО), выражаемое языками общения между проектировщиками и ЭВМ, языками программирования и языками обмена данными между техническими средствами САПР;

— методическое (МетО), включающее различные методики проектирования и документы, в которых отражены состав.