25. Полиномиальные методы

Полиномиальные способы предполагают представление модели­руемой поверхности полиномом второй - пятой степени вида

Для отыскания неизвестных коэффициентов полинома для каждой опорной точки составляют одно уравнение поправок вида

где свободный член (Z – Z_Г) представляет собой уклонение вычислен­ной по формуле (5.7) отметки (Z) с приближенными значениям ко­эффициентов полинома от исходной (Z_Г). Полученную систему реша­ют последовательными приближениями, в каждом из которых неизве­стные находят методом наименьших квадратов, под условием [pv ]= min. Найденные таким образом коэффициенты а₀...а_i уравнений (5.7) используют для интерполяции высот точек, расположенных в области моделирования.

Кусочно-полиномиальные способы предполагают деление области моделирования на участки, подбор для каждого участка своего ло­кального полинома вида (5.7) и последующую связь локальных поли­номов с помощью переходных уравнений. Во всех случаях возникают переопределенные системы, которые решаются под условием миниму­ма суммы квадратов расхождений высот точек реальной и аппроксими­рующей поверхностей.

Сходные по характеру решения используют способы, основанные на применении рядов Фурье (разложений по сферическим гармони­кам), различного рода сплайнов (кубических, бикубических, на много­образиях и др.) и т. п. [3].

На русский язык термин "spline" переводится как "гибкая рейка" или "плавная кривая" [5].

Сплайны используются для сглаживания линий при отображении гладких поверхностей (поле и т.д.).

26. Мультиквадриковый способ аппроксимации топографической поверхности

В этом способе аппроксимация топографической поверхности осуществляется путем суммирования поверхностей заранее фиксированного вида, в качестве которых применяются конусы и гиперболоиды. Каждая такая поверхность, характеризуемая уравнением

связана с некоторой точкой топографической поверхности j и имеет определенный наклон c_j . Элемент называется кадрикой точки j. Для n квадрик аппроксимирующая топографическую поверх­ность формула получается как сумма частных квадрик

и называется мультиквадриковой поверхностью.

Квадрика q, представляемая гиперболоидом, имеет вид

При В=0 гиперболоид превращается в круговой конус, радиус основания которого равен высоте, а вершина лежит в плоскости XOY. Координаты вершины совпадают с координата­ми и точки j.

Коэффициенты получаются из решения системы n урав­нений

i=1, 2, …, n (5.9)

где -я компонента вектора z=[ ] -я компонента вектора неизвестных коэффициентов ; q(x_j, y_j, x_i, y_i)— эле­менты q_i матрицы Q = [q_ij ],В матричной форме система уравнений (1) примет вид

Qc=z откуда

С геометрической точки зрения коэффициенты с_j — танген­сы углов наклона образующих соответствующих конусов к плоскости XOY.

Координата z_A любой определяемой точки на вычисленной мультиквадриковой поверхности получается как сумма всех z_j^A точек пересечения каждой частной квадрики с вертикаль­ной линией, проходящей через точку A, Величина параметра В в формуле (5.8) может принимать различные значения в зависимости от сложности рельефа и размеров стороны квадрата.