35.Загальна задача нлп. Основні означення і класифікація задач.

36.Методи одновимірної оптимізації. Унімодальні функції та їх властивості.

Задача одновимірної оптимізації полягає у відшуканні мінімуму (або максимуму) функції

на відрізку [a,b].

Ця задача має самостійне значення i в той же час її доводиться розв'язувати

при оптимізації функцій багатьох змінних. Вiдразу треба зауважити, що класичний підхід до розв'язування задач одновимірної оптимізації, що грунтується на відшуканні коренів рівняння

далеко не завжди може бути реалізований на практиці. По-перше, в практичних задачах оптимізації часто взагалі невідомо, чи є функція y = f(x) диференцiйовною, наприклад, якщо вона задана таблично. По-друге, задача розв'язування рівняння з обчислювальної точки зору має такий же порядок складності, як i вихідна задача. Ось чому є потреба в застосуванні методів оптимізації, відмінних від класичних, тобто таких, які не зв'язані з похідною.

Ми розглянемо деякі з таких методів одновимірної оптимізації стосовно, так званих, унiмодальних функцій.

Означення 8.1. Функцiю y= f(x), визначену на відрізку [a,b], назвемо

унiмодальною, якщо вона має на ньому єдину точку мінімуму x*∈[a,b] i

задовольняє умову

∀ x1, x2 таких, що a ≤ x1 < x2 ≤ x*, f(x1) > f(x2);

∀ x1, x2 таких, що x* ≤ x1 < x2 ≤ b, f(x1) < f(x2).

Очевидно, що це означення "пристосоване" для задачі мінімізації. Для задачі максимiзацiї відповідне означення змінюється елементарно. Зауважимо, що унiмодальна функція може не бути неперервною i може не бути опуклою. Основна властивість унiмодальної функції Чисельні методи мінімізації унiмодальної функції грунтуються на основній її властивості, яка безпосередньо випливає із її означення (див. рис. 7.1). Нехай функція y=f(x) унiмодальна на відрізку [a,b], має на ньому мінімум в точці x* i точки l та r з цього відрізка такі, що a < l < r < b.

Тоді:

якщо f(l) > f(r), то x* ∈ [l,b],

якщо f(l) < f(r), то x* ∈ [a,r],

якщо f(l) = f(r), то x* ∈ [l,r].

Сформульована властивість дозволяє будувати послідовні алгоритми, на

кожному кроцi яких скорочується інтервал пошуку мінімуму.

37.Методи одновимірної оптимізації. Метод Фібоначчі

Зауважимо, що існує кілька ітераційних схем методу Фiбоначчi, які в основному відрізняються швидкістю збіжності. Розглянемо одну з найбільш простих, не зупиняючись на питаннях збіжності. Отже, нехай x* − точка мінімуму функції f(x ) на відрізку [a,b]. Як і у вже розглянутих методах на початку обчислень покладають

N — задане число iтерацiй, ε >0, F

числа Фiбоначчi, що задаються рекурентним співвідношенням

\

За наближений розв'язок задачі приймають

Для МФ у випадку заздалегідь фіксованого числа iтерацiй довжина кінцевого

інтервалу пошуку мінімальна. При розв'язуванні задачі максимiзацiї функції f(x) необхідно замінити її на

функцію –f(x).