42.Теорема Куна-Таккера та її застосування.

Теорема 9.3 (Куна-Таккера). Нехай

задача опуклого програмування, допустима множина

якої задовольняє умову регулярності Слейтера.

Допустимий розв'язок x*∈DC задачі С є її оптимальним розв'язком тоді i

тільки тоді, коли існує невід'ємний вектор u*≥0 такий, що точка (x*,u*) є

сiдловою точкою функції Лагранжа задачі С на множині x∈X, u≥0.

Доведення. Достатнiсть випливає з теореми про достатні умови оптимальності.

Необхiднiсть. Нехай x* є оптимальним розв'язком задачі C, тобто для

довільних x ∈ DC виконується f 0(x*)≤ f 0(x). Введемо у просторі Em+1 множини Y i Z за допомогою співвідношень

де Y(x) для довільного x ∈ X визначається так:

Покажемо, що множини Z i Y опуклі. Опуклiсть множини Z очевидна: Z є перетином скiнченного числа m+1 пiвпросторiв у просторі Em+1. Аналогiчно стверджуємо, що для довільного x∈ X множина Y(x) також опукла як перетин скiнченного числа m+1 пiвпросторiв у просторі Em+1. Далі, для довільних y1,y2∈Y утворимо їх опуклу лінійну комбінацію