1. Загальна ЗЛП(координатна, векторна, матрична форми). Цільова функція та обмеження. Допустимі вектори і розвязки.

2. Геометрична інтерпретація ЗЛП.

3. Опуклі множини, перетин опуклих множин. Опуклість гіперплощини і півпростору. Опуклість множини допустимих векторів ЗЛП.

4. Властивості допустимої множини ЗЛП.

5. Лема про вершини опуклого многранника. Теорема про досяжність оптимуму ЗЛП у вершині допустимої множини.

6. Стандартна ЗЛП. Зведення ЗЛП до СЗЛП. Співвіднношення між числом змінних, числом обмежень, рангом матриці та рангом розширеної матриці. Зведення СЗЛП до КЗЛП.

Перхід до КЗЛП:

7. Базисні вектори. Базис базисного вектора. Базисна матриця. Базисні і небазисні змінні. Вироджений і невироджений випадки.

8.Теорема про базисні вектори СЗЛП

9.10.12.13.Алгоритм СМ

11.Критерій оптимальності базисного вектора

Базисний вектор є оптимальним якщо всі оцінки ТЕТА в таблиці є додатніми, якщо ж вони є відємними то вектор не є оптимальним.

14.Пошук початкового базисного вектора ЗЛП

Короче якщо в ситемі є нерівності то зводимо їх у рівності щоб утворилася КЗЛП. Потім вибираємо на шару якісь базисні змінні, їх кількість має бути рівною кількості рядків. Далі беремо з початкової матриці по номерам вибраних базисних змінних стовпчики і з них утворюємо матрицю В. Шукаємо її визначник - він має бути відмінний від нуля. Якщо він не нуль, то шукаємо обернену матрицю і множимо її на вектор - стовпчик b. Якшо в результаті хоть якась компонента утвореного вектора буде від'ємна то ХРІНОВО підібрані базисні змінні і змінні треба поміняти.

15.Метод штучного базису

16.М-метод розв’язання ЗЛП

17.Двоїсті задачі лінійного програмування . Означення та властивості

18.Лема про співвідношення значень цільових функцій двоїстих задач. Симетрична і несиметрична двоїсті пари.

20.Перша теорема двоїстості. Наслідок

21.Друга теорема двоїстості. Застосування до розв’язання пари двоїстих задач

22.Двоїстий СМ. Означення псевдо канонічної ЗЛП, майже допустимого вектора, геометрична інтерполяція, обмеження та відносні оцінки.

23. Алгоритм двоїстого СМ

24. Постановка ТЗБО. Зведення ТЗБО до ЗЛП. Властивості ТЗБО.

25.Методи побудови початкового базисного плану ТЗБО. Критерій оптимальності.

26.Метод потенціалів для ТЗБО

28.Знаходження початкового базисного плану ТЗ з обмеженнями

29.Мережі та потоки. Задача про оптимальний потік. Теорема про існування потоку

30.Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті.

31.Теорема про максимальний потік та мінімальний переріз. Алгоритм Форда-Фалкерсона.

32.Цілочисельні задачі ЛП. Порівняння неперервної та дискретної задачі

33.Ідеологія методу відтину. Методу Гоморі. Теоретичні обґрунтування.

34.Задача комівояжера. Метод оцінок та розгалужень в задачі комівояжера

Метод гілок та меж для задачі комівояжера

Постановка задачі : Нехай є n міст зв’язаних транспортною мережею. Задано матрицю відстаней

причому в загальному випадку .

Комівояжер починає рухатись, наприклад, із міста , повинен побувати в кожному місті тільки один раз і повернутися у вихідне місто . Треба відшукати такий замкнений маршрут, або цикл , що проходить через кожне місто один раз, при якому мінімізується сумарна (загальна) довжина шляху:

Опис алгоритму. 1. Визначення множини , яка складається з усіх циклів (замкнених маршрутів).

2. Визначення підмножини , кожна з яких складається з усіх циклів, підпорядкованих одній із таких додаткових умов:

а) із пункта i належить безпосередньо перейти в пункт j для усіх пар (i,j), які входять у деяку множину .

б) із пункта i забороняється безпосередньо перейти в пункт j для усіх пар (i,j), які входять у деяку множину «заборон» .

3. Обчислення оцінки для . Розглянемо деякий цикл . Відповідна йому відстань дорівнює:

Нехай . Тоді

Далі, нехай . Тоді

Вище описану процедуру перетворення матриці, що дає змогу з вихідної матриці С отримати матрицю , називають зведенням, а величину

сумою констант зведення.

4. Розбиття. Кожній вершині множини дерева рішень відповідатиме своя оцінка і своя зведена матриця . Множину розбивають на дві підмножини. Для цього певним чином вибирають пару пунктів (r,m), що не входять до множини та . Після цього виконують розбиття на підмножини так, що

Тут утворюється із введенням додаткової умови: із пункта r здійснити безпосередній перехід у пункт m, а - із умови: із пункту r заборонено безпосередній перехід у пункт m.

Таким чином:

Вибір пари (r,m) базується на таких вимогах. Підмножину вибирають так, щоб вона з найбільшою ймовірністю містила оптимальний цикл, а -навпаки, не містила.

Щоб виконати першу вимогу, пару (r,m) треба вибрати так, щоб задовольнялась умова:

де елемент зведеної матриці . Щоб виконати другу вимогу, пару (r,m) необхідно вибрати так, щоб циклам, які входять до множини , відповідали якнайдовші шляхи. Згідно з визначенням множини , для будь-якого циклу шлях із пункту r в пункт m має містити такі переходи: із r в деякий проміжний пункт та із деякого пункта в пункт m. Довжина цього шляху буде не менша, ніж:

Отже, залишається вибрати пару (r,m) так, щоб було максимальним, тобто:

де .

При цьому, звичайно, необхідне виконання умови:

5. Обчислення оцінок. Розглянемо розбиття . Спочатку розглянемо підмножину і вкажемо правило переходу від матриці до .

Матриця містить ті самі рядки і стовпці, що й матриця . Побудуємо деяку проміжну матрицю згідно з правилом:

Застосувавши до процедуру зведення, отримують . При цьому сума констант зведення дорівнює . Таким чином:

Тепер розглянемо множину і визначимо правило переходу від матриці до .

Оскільки, за визначенням, підмножина містить безпосередній перехід із пункта r до пункта m, то при переході від до треба викреслити рядок r і стовпець m.

В результаті дістають .

Далі необхідно перевірити, чи не містить рівно один цикл. Якщо це так, то до матриці застосовують процедуру зведення. Одержавши суму констант зведення , перераховують оцінку:

При цьому значення дорівнюватиме довжині його єдиного циклу.

Якщо підмножина містить більше одного циклу, то треба заборонити можливість утворення під циклів (тобто часткових циклів), які проходять через меншу, ніж n, кількість пунктів. Для цього необхідно знайти всі маршрути, що містять перехід (r,m).

Процес заборони утворення під циклів виконують так.

Насамперед можливий під цикл (r,m,r). Його виключають шляхом заборони переходу (m, r). Для цього приймають .

Якщо з елементів можна скласти маршрут , то можливі під цикли вигляду , де . Забороняють ці підцикли, прийнявши . Аналогічним чином, якщо з елементів можна скласти маршрут , то можливі під цикли вигляду . Щоб їх виключити, забороняють переходи . Для цього вважають . Всі інші елементи матриці лишають без змін. Далі до матриці застосовують процедуру зведення і знаходять матрицю . Позначимо через відповідну суму констант зведення. Тоді оцінки обчислюються за формулою: