1. Определение координат точки на плоскости проекции

Разобьем общую задачу перспективногопроецирования на две задачи преобразования координат:

• преобразование для перехода из мировой системы координат в видовую систему координат

• преобразования для перехода из видовой системы координат в координаты на плоскости проекции.

Переход в видовую систему координат

Переход в видовую систему координат иллюстрируется ниже приведенным рисунком (Рис. 6.2 -57).

Видовая система координат представляет собой такую трехмерную систему координат с координатными осями X_в, Y_в, Z_в, которая «удобна» для заданной проекции, т.е. из которой наиболее просто осуществляется переход в двумерную систему на плоскости проекции (например, экран). Для данного вида перспективной проекции начало видовой системы координат должно находиться в точке E, ее ось Z_в должна совпадать с вектором проекции V, ее ось X_в должна проецироваться на ось X _э, а ее ось Y _в должна проецироваться на ось Y _э.

ч

Рис. 6.2‑57

Исходя из этого, переход из мировой системы координат в видовую можно выполнить за счет следующей последовательности базовых преобразований:

1. перенос мировой системы координат на вектор V, в результате чего будет получена система координат c началом в точке E и координатными осями X¹, Y¹, Z¹ (реализуется матрицей Т^-1(-V_x, -V_y, -V_z));

2. поворот полученной системы на угол (-(90⁰-)относительно ее координатной оси Z¹, в результате чего будет получена система с координатными осями X², Y², Z² (реализуется матрицей R_z^-1(-(90⁰-, в которой вектор V находится в координатной полскости Y², Z² 

3. поворот полученной системы E, X¹, Y¹, Z¹ на угол ((180⁰- относительно ее координатной оси X², в результате чего будет получена система с координатными осями X³, Y³, Z³, начало которой находится в точке E, (реализуется матрицей R_x^-1(180⁰-, в которой вектор V располагается на оси Z³

4. смена направления координатной оси X³, в результате чего будет получена нужная видовая система координат с координатными осями X_в, Y_в, Z_в (реализуется матрицей R(-x)).

Таким образом, учитывая четыре базовых преобразования координат, для перехода в видовую систему координат необходимо использовать следующее произведение матриц:

Для задания используемых матриц представим все их элементы через тригонометрические функции sin , cos, sin , cos и введем обозначения:

cosa; sin b; cosс; sin d;

u_x = -bc; u_y = -bd; u_z =-a.

С этой целью представим перечисленные в выше приведенном выражении матрицы в следующем виде.

Матрица переноса:

T^-1(u_x, u_y, u_z)= T(-u_x, -u_y, -u_z).

Такой представление правомерно, так как обратная матрица переноса на вектор эквивалентна прямой матрицы переноса на этот же вектор в обратной направленности.

C учетом введенных обозначений будем иметь:

Матрицы поворота относительно оси Z¹:

R_z^-1(-(90⁰- R_z(90⁰-

и, учитывая, что sin (90⁰-cos можно записать:

Матрицы поворота относительно координатной оси X²:

R_x^-1((180⁰- R_x (-(180⁰-,

и, учитывая, что sin (-(180⁰-=- sin  cos (-(180⁰-=- cos  имеем:

Матрица смены направления координатной оси X² имет вид:

Найдем матрицу видового преобразования R_в:

Определим порядок умножения матриц согласно скобок в записи:

Найдем R1:

Найдем произведение:

При нахождении матрицы видового преобразования R_в, учтем необходимость расширения матрицы R2 из размерности 3*3 до размерности 4*4:

где:

Таким образом, матрица видового преобразования имеет вид:

(6.2-1)

Переход из видовой системы к координатам на плоскости проекции.

Для выполнения этого этапа используем ниже приведенный рисунок ().

Рис. 6.2‑58

На рисунке приняты следующие обозначения:

• Е – начало видовой системы координат с координатными осями X_в, Y_в, Z_в;

• Т1 – точка в видовой системе координат, расположенная на координатной плоскости X_вZ_в;

• Т2– точка в видовой системе координат, расположенная на координатной плоскости Y_вZ_в;

• d - расстояние от начала видовой системы координат до плоскости проекции;