6. Двумерные проекции

1. Виды проекций

Проецирование, в общем случае называется процедура представления n-мерных объектов в (n-1)-мерном пространстве. Проецирование 3-х мерных объектов, в этой связи, представляет собой процедуру их отображения на двумерной поверхности. В этом случае процесс проецирования отдельных точек исходного объекта заключается в нахождении точки пересечения линии проецирования, проходящей через эти точки, с поверхностью проецирования.

Существуют различные двумерные проекции, классификация которых может быть представлена, как это показано на Рис. 6.1 -54.

Приведенные на Рис. 6.1 -54 различные виды проекций характеризуются следующим.

Перспективные проекции - это такие проекции, у которых все линии проецирования сходятся в одной точке - центре проецирования (или точки наблюдения). Эти проекции наиболее полно отражают специфику человеческого зрения.

Рис. 6.1‑54

Параллельные проекции - это такие проекции, у которой все линии проецирования параллельны друг другу. Параллельные проекции можно рассматривать как частный случай перспективной проекции, у которой центр проецирования (точка наблюдения) удален в бесконечность.

Перспективные проекции обычно используются художниками, дизайнерами и архитекторами для отображения общих планов. Параллельные проекции, как правило, используются в техническом черчении.

Перспективные проекции по форме поверхности проецирования подразделяются на плоские, цилиндрические и сферические.

Параллельные проекции подразделяются на аксонометрические и косоугольные.

Аксонометрические проекции характеризуются тем, что у них линии проецирования перпендикулярны плоскости проецирования. По отображению на проекции координатных осей исходной трех мерной системы, из которой выполняется проецирование, аксонометрические проекции делятся на:

• изометрию (на проекции углы между тремя парами осей координат трехмерной системы одинаковые, как это показано на Рис. 6.1 -55а);

• диметрия (на проекции углы только между двумя парами осей координат трехмерной системы одинаковые, как это показано на Рис. 6.1 -55 b);

• триметрию (на проекции углы между всеми тремя парами осей координат трехмерной системы разные, как это показано на Рис. 6.1 -55 с).

Рис. 6.1‑55

Косоугольные проекции характеризуются тем, что у них линии проецирования пересекаются с плоскостью проецирования не под прямым углом. Они подразделяются на свободные и кабинетные.

Свободные проекции характеризуются тем, что линии проецирования пересекаются с плоскостью проецирования под углом 45⁰.

Кабинетные проекции отличаются от свободных тем, что у них масштаб по третьей оси (как равило, оси Z) уменьшен в два раза.

2. Перспективные проекции

Плоская перспективная проекция однозначно определяется положением точки наблюдения и расстояние от нее до плоскости проецирования (d). Положение точки наблюдения может задаваться в виде вектора V, связывающего точку наблюдения и начало трех мерной системы координат, из которой выполняется проецирование. Трехмерная система координат, из которой выполняется проецирование, называется мировой системой координат.

Вектор V может задаваться в одной из двух форм (Рис. 6.2 -56):

1. в полярной системе координат через параметрами:

• модуль вектораV;

• -угол между координатной осью X и проекцией вектора V на координатную плоскость XY мировой системы координат;

• -угол между вектором V и осью Z мировой системы координат;

2. в декартовой системе координат через проекции вектора V на координатные оси мировой системы координат:

• V_x – проекция вектора V на ось X;

• V_y – проекция вектора V на ось X;

• V_z – проекция вектора V на ось X.

Рис. 6.2‑56

Задача проецирования графического объекта, в конечном счете, сводится к определению координат X,Y отдельных точек объекта на плоскости проецирования, которые изначально заданны тремя координатами в мировой системе координат.