Например
[0,1]
f (x) cos(2 x) g(x) sin(2 x)
1 1
f g |
1 |
|
cos(2 x)sin(2 x)dx |
|
|
|
0 |
|
1
0.5 sin(4 x)dx 0
0
1
25.06.19 |
21 |
Пространство Соболева |
W s[a,b] |
|
2 |
• |
Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом |
||||||||||||||
|
производные до s порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b d m f |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
Норма определяется как |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
s |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
W2S |
|
m |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 a dx |
|
|
|
• |
Расстояние |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
b d m ( f g) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
W22S |
|
dx |
m |
dx |
|
|
|||||||
|
|
m 0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•В этом пространстве близость между функциями характеризует также близость их производных.
•Функции f и h на рис. 1.1 будут «близкими» по норме 
W20 и «далекими» по норме 
W21 , причем 
W20 
L2
25.06.19 |
22 |
Виды погрешностей
• Абсолютная погрешность X между точным X и
приближенным X значениями некоторого элемента определяется через норму разности X 
X X%
•Относительная погрешность X определяется как отношение абсолютной погрешности к норме
элемента X X / 
X%
25.06.19 |
23 |
Пример
f
f var
f const
z
25.06.19 |
24 |
Откуда возникают погрешности расчетов?
•Есть четыре источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении расчетов
•1. Неточность математической модели
•2. Погрешность исходных данных
•3. Погрешность метода
•4. Ошибки округлений
25.06.19 |
25 |
Неточность математической модели
Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и описывает лишь основные факторы, существенные при решении конкретной технической задачи.
Уточнение модели за счет введения описания дополнительных факторов обычно приводит к ее усложнению и, как следствие, к трудности использования, поэтому необходим определенный компромисс (Бритва Оккама).
Выбор удачного компромисса - это творческий процесс, требующий большого опыта и инженерной интуиции.
25.06.19 |
26 |
Погрешность исходных данных
Исходные данные обычно получаются из измерений либо - наоборот, по этим данным затем делается устройство. В каждом случае имеется так называемая неустранимая погрешность между исходными данными, участвующими в расчетах, и теми, которые реализуются. В результате этого получаемое решение также будет отличаться от реализуемого в устройстве.
В зависимости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на два класса:
корректные и некорректные.
Задача называется корректной, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения.
Задача называется некорректной, если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам в результатах,.
Для решения некорректных, но правильных с физической точки зрения задач разрабатываются специальные методы
25.06.19 |
27 |
Погрешность метода
•При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой задачи
• Y=F(x)
•представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:
• Yh=Mh(x)
•Mh – метод, h – параметры метода
•При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится
контролируемая некоторыми параметрами метода погрешность
• |
|
(h)=Y-Yh. |
• |
Получение зависимости погрешности решения (h) |
|
|
от параметров вычислительного метода является |
|
|
одной из основных задач вычислительной |
|
|
математики |
28 |
|
25.06.19 |
|
Погрешность метода (продолжение)
• |
Обычно при уменьшении некоторого параметра h |
||
|
метода погрешность решения h стремится к нулю, |
||
|
т.е. |
h 0 |
h 0 |
• |
при |
||
•В этом случае, если выполняется оценка
h Ch p
•где С - const и не зависит от h, считается, что
порядок погрешности равен p и обозначается
коротко |
h o(h p ) |
|
25.06.19 |
29 |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
Например, метод вычисления |
f (x) |
||||||
|
|
||||||
производной |
|
f (x h) f (x h) |
|||||
• |
Метод |
Yh |
Mh (x) |
||||
|
|
|
|||||
|
2h |
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
||
• Погрешность: |
h |
|
|
f (x) Mh (x) |
|
c |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при h 0, |
h |
0 |
или h o(h2 ). |
|
|
|
|
||||||||
• Порядок погрешности p=2 |
|
25.06.19 |
30 |