Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Шпоры, 2ой семестр (Лущакова ИН) [4051 вопросов].doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
1.46 Mб
Скачать

Билет 43.

Векторные поля и их основные характеристики.

Говорят, что в V занадо векторное поле, если каждой т. поставлен в соответствие некоторый вектор. Физ. Векторные поля не зависят от выбора СК.

Векторная линия – кривая, в каждой точке M которой направлен по касательной к кривой. Векторная трубка – часть пространства, состоящая из целых векторных линий, каждая ВЛ или целиком лежит внутри этой трубки или находится вне ее.

Поток векторного поля. Дивергенция.

Дивиргенцией векторного поля называется скалярная ф-ция .

Формула Остроградского:

характеризует плотность источников поля в данной точке. Не зависит от выбора СК.

Циркуляция и ротор векторного поля.

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

Рассмотрим . С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2 называется циркуляцией вдоль кривой L в направлении . Если -силовое поле, то его циркуляция – работа вдоль пути L.

(формула Стокса).

Билет 44.

Специальные виды векторных полей.

Потенциальное векторное поле.

называется потенциальным в области G, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U(M). Функция U(M) – потенциал векторного поля . ; ; ; ; ;

Т.о. в потенциальной поверхностно односвязной области G поле обладает следубщими свойствами:

1) циркуляция потенциального вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

2) Для любых т. А,В из области G циркуляция потенциального поля не зависит от выбора кривой АВ, а зависит только от выбора А и В.

3) Потенциальное поле является безвихревым

- необходимое и достаточное условие потенциальности поля в поверхностно односвязной области.

Сопеноидальное векторное поле.

Векторное поле называется сопеноидальным в области G, если в этой области (нет источников). ;

; ; ; ; ;

Закон сохранения интенсивности векторной трубки в сопеноидальном поле.

В сопеноидальном поле поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и тоже значение. Векторные линии в соп. поле не могут начинаться или заканчиваться внутри областисопеноидальности. -это поле является соп-м.

Любое физ векторное поле C может быть представлено в виде суммы и , где -потенциальное, -соленоидальное.

Гармоническое векторное поле.

гармоноческое, если оно является одновременно потенциальным и сопеноидальным.

; ;

Билет 21.

Частные производные и их геометрический смысл.

Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

Билет 14.

Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.

Теорема: Пусть f(x) интегр. на [-a,a], тогда если f(x) четная, то , если нечетная, то .

Если f(x) – непрерывная с периодом T, интегрируемая на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на любом отрезке длины Т.

Док-во:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

- непр. диф-е ф-ции на

; ; ;

Билет 32.

Двойной интеграл, его вычисление в декартовой прямоугольной системе координат.

; ;

y-трапецевидная область Д.

x-трапецевидная область Д

Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.

; ;

для y-трапецевидной области

для x-трапецевидной области

Замечание: области более сложного вида разбиваются на сумму трапецевидных областей.

Билет 25

Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

  1. z=f(x,y); f x(x,y), f x(x,y)

d/dx*(df(x,y)/dx)=d2f(x,y)/dx2=(f x(x,y))x=f xx(x,y)= f x2= d2z/dx2=z x2

d/dy*(df(x,y)/dx)=d2f(x,y)/(dx*dy)=(f x(x,y))y=f xy= d2z/(dx*dy)=z xy

d/dy*(df/dy)=d2f /d2y2=f y2=d2z /dy2=z y2

В общем случае частные производные зависят от порядка дифф.

Теорема: Пусть ф-ция z=f(x,y), f x, f y, f xy, f yx опред. в некот. окрест. точки М0(x0,y0). Если f xy, f yx непр. в точке М0(x0,y0), то f xy=f yx в точке М0(x0,y0).

  1. z=f(x,y); x,y – независим. перемен.; dz=f x(x,y)dx+f y(x,y)dy

Дифф. от дифф. 1-го порядка от ф-ции z=f(x,y) в любой точке M(x,y), вычисленный на тех же приращениях аргументов ∆х и ∆y, назыв. дифф. 2-го порядка.

d(dz)=d2z=d(f xdx+f ydy)=[dx=∆х=const; dy=∆y=const]=d(dz)=d2z=d(f x(x,y)dx+f y(x,y)dy)=

= (f xdx+f xydy)dx+(f yxdx+f y2dy)dy=[f xy=f yx]=f x2dx2+2f xydx dy+f y2dy2

d2z=(d2f/dx2)dx2+2(d2f/dx dy)dx dy+(d2f/dy2)dy2

d=(d/dx)dx+(d/dy)dy; df=(df/dx)dx+(df/dy)dy; d2f=((d/dx)dx+(d/dy)dy)2f=

= ((d2/dx2)dx2+(d2f/dx dy)dx dy+(d2/dy2)dy2)f

d3f=d(d2f)=((d/dx)dx+(d/dy)dy)3f

dnf=((d/dx)dx+(d/dy)dy)nf

Билет 26

Формула Тейлора для ф-ции неск.переменых.

u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М0€[М]

└→(Rk+1(N))

N отр М0М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М0.

;

Билет 27

Локальный экстремум ф-ции нескольких переменных.

u=f(M)=f(x1,x2,..,xn) опред. в окр. т.М0 (x10,x20,..,xn0).

Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М0 локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М0 в кот.при ММ0 выполняется след. нер-во: f(M)<f(M0), (f(M)>f(M0)).

∆u=f(M)-f(M0)<0, если М0 т.локал. мах.; ∆u>0, если М0 т.локал. мin.

Теор.(необход.усл.экстремума).

Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М0 и М0 – т.лок. max (min), то в этой точке:

Д ок-во: док-ем, что , u=f(x1,x2,..,xn)

x2=x20, М0 (x10,x20,..,xn0).

x3=x30,..

xn=xn0.

u=f(x10,x20,..,xn0) – имеет лок. экстремум в т.М0.

Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.

u=xy2, ux’=y2=0; uy’=2xy=0; M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.

∆u=u(M)-u(M0)= xy2>(<)0

Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:

z=1-√x2+y2; zx’=x/√x2+y2; zy’=y/√x2+y2; z(0,0)=1; z(∆x,∆y)<1

Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)

Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M0 и т.M0 – стационар.т., u=f(M) (df(M0)=0), тогда если для любых dx1,dx2,..dxn не равных одновременно 0:

d2f(M0)>0, то т.M0-т.лок.min; d2f(M0)<0, то т.M0-т.лок.max;

Д-во: f(M)=f(M0)+df(M0)/1!+d2f(N)/2!.

∆f(M0)=f(M)-f(M0)=df(M0)+d2f(N)/2!.

u=f(M) – дважды непр. дифф.

d2f(M0)>0→d2f(N)>0; d2f(M0)<0→d2f(N)<0;→ ∆f(M0)>0→

M0 – т.лок. min; M0 – т.лок. max;

  1. d 2f(M0)>0↔a11>0,

  2. d2f(M0)<0↔a11<0,

Если d2f(M0) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M0 экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму

Q(dx1,dx2,..dxn)>0 то полож.опр.

Q(dx1,dx2,..dxn)≥0 то казизнакополож.опр

х12+2х12х2222+(х11)2≥0; х1=-х2.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.