Билет 41.
Формула Стокса.
Пусть гладкая xyz-проетируемая
ориентированная поверхность
ограничена кусочно гладким контуром
и пусть в некоторой 3х мерной области,
содержащей в себе поверхность
,
ф-ции P,Q,R
и их частные проихводные непрерывны,
тогда справедливо следующее:
,
где направление обхода контура
осуществляется в положительном
направлении.
Если граница
состоит из нескольких контуров, то
формула Стокса остается в силе. При этом
в левой части надо написать сумму
интегралов по всем контурам, пробегаемым
в положительном направлении.
Для вычисления интегралов по замкнутому
контуру
можно
выбрать любую поверхность
,
ограниченную контуром
.
Разумно выбирать поверхность простого
вида.
Условие независимости КРИ-2 от пути интегрирования.
3х мерная область V
называется поверхностно односвязной,
если для любого замкнутого контура
,
лежащего в V внутри V
найдется поверхность, ограниченная
.
и
их частные производные 1го порядка
непрерывны в некоторой замкнутой
ограниченной поверхностью односвязной
области V, то след. 4 условия
эквивалентны:
1)
любого
замкнутого кусочногладкого контура
-
2)
не
зависит от пути соединения точек А и В.
3)
полный
диф-л, где
4)
Билет 28.
Условный экстремум ф-ции нескольких переменных.
Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.
;
x+y-1=0;
(*)
;
;
;
Метод множителя Ла-Гранджа.
(*) эквивалентна задаче:
,
где
-множитель Ла-Гранджа;
- функция Ла-Гранджа.
Надо исследовать
ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи
в диффиринциалах.
Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.
Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.
Билет 29.
Интегралы по фигуре от скалярной ф-ции.
Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.
Под геометрической фигурой
понимается одно из следующих связных
(включая границу) множеств точек (см.
таблицу).
Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.
Под мерой
фигуры Ф понимается следующее (см.
таблицу).
Если он существует, конечен и не зависит
от способа построения интегральной
суммы
,
то он называется интегралом по фигуре
Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается
Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.
Билет 30.
Свойства интегралов по фигуре от скалярной ф-ции.
1).
2).
3).
4).
;
-
длина линии L;
;
;
5). Если
то
6). Если
,
то
7). Если
,
то
8). Теорема о среднем: Если f(p)
непрерывна на фигуре Ф, причем Ф –
ограничена о содержит граничные точки,
то
Геометрические и физические прилажения интегралов по фигуое от скалярной ф-ции.
-
материальная фигура
-
плотность материальной йигуры Ф
Билет 31.
Криволинейный интеграл 1го рода.
1).
;
- диф-ма на [a,b];
;
L: x=g(y);
;
2).
;
x(t),y(t)
– непрерывно диф-ма на
;
L:
;
3).
;
;
L:
4).
;
;L:
;
;
;
Билет 36.
Интеграл по ориентированной фигуре от векторной ф-ции.
Векторная ф-ция 3х переменных
x,y,z,
определенной на фигуре Ф. Ф-ции P,Q,R
называются координатами
.
Фигура Ф называется ориентированной,
если в каждой ее точке М задан некоторый
вектор
,
характеризующий эту фигуру. Диния
называется ориентированной, если на
ней выбрано направление перемещения.
Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению.
1).
;
2).
;
3).
; 4).
5).
; n-я интегральная сумма
для векторной ф-ции a(M)
по ориентированной с помощью вектора
P(n)
фигуре Ф. ; 6).
(*)
Если (*) существует, конечен и не зависит
от способа построения интегральной
суммы
,
то он называется интегралом по
орентированной фигуре Ф от векторной
ф-ции a(M).
P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) a=(P,Q,R)
Если ф-ции P,Q,R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует.
Частные случаи интегралов по ориентированной фигуре.
Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции.
1).
;
2).
,
c=const
3).
; 4).
Билет 4.
Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x € X.
F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.
для
;
Совокупность всех первообразных F(x)+C
для ф-ции f(x),
определенное на X, называется
неопределенным интегралом от ф-ции f(x)
на X и обозначается
;
Основные свойства неопределенного интеграла.
1).
2).
3).
4).
Билет 5.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Внесение множителя под знак диффиринциала.
Теорема: Пусть
определена
и диф-ма на X. U-
множество значений ф-ции
.
Для f(U)
существует F(U)
на U.
Тогда для g(x)
на X сущ-т первообразная
,
т.е.
Док-во:
На практике:
Вынесение множителя из-под знака дифференциала.
Теорема: Пусть
определена и диф-ма на T.
на
Т. Для g(t)
на Т существует G(t).
,
тогда для f(x)
на X существует первообразная
.
Док-во:
возрастающая
гарантировано
(обратная).
На практике:
Билет 42.
Скалярные поля. Производная по направлению. Градиент.
Пусть V – некоторая область
в пространстве. Говорят, что в этой
области задано скалярное поле, если
каждой т.
поставлено
в соответствие некоторое число U(M)
(пример – поле температур, освещенности).
Скалярное поле не зависит от выбора
системы координат. Поверхность или
линия, на которой U(M)
принимает постоянное значение называется
поверхностью уровня скалярного поля.
Пусть U(M) –
некоторое скалярное поле.
-
единственный фиксированный вектор.
-фиксированая
точка.
;
;
Если
,
то он называется производной скалярного
поля U(M) по
направлению
в точке
.
lnH-скорость изменения
ф-ции U(m) по
направлению
в точке
.
;
;
;
;
;
;
;
принимает наибольшее значение при
,
т.е. в направлении вектора gradU
в т.
gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.