Билет 19.

Определение НИ-2.

f(x) определена на [a,b); ; , т.е.

называется НИ-2 и обозначается

Если этот Lim существует и конечен, то говорят, чтосходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.

Свойства НИ-2.

{Аналогично НИ-1. }

1. Аддитивность

Если сходится, то , ;

2. Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.

Интегрирование по частям.

Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a,b), то

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

Билет 22.

Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных.

Дифференциал.

; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.

Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то

Док-во: ; ;

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .

Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.

;

; ;

Билет 23.

Диффиренцирование сложной ф-ции нескольких переменных.

; ;

Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет дифф. в т. и

Док-во: ; ;

- дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ;

дифф. в т.

;

; ; ;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

Билет 39.

Условие независимости КРИ-2 от пути. Интегрирование полных дифференциалов.

Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:

1) , где L – любой замкнутый контур Д.

2)не зависит от пути AB.

3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \

4) dP/dy=dQ/dx в области Д.

Доказательство:

где .

Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.

Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.

Первый способ:

U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy

Второй способ: ;

{; } ;

не зависит от пути.

Билет 40.

Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени.

M (x,y,z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x,y,z)i +Q (x,y,z)j + R(x,y,z)k

1) ; 2)

3) ; 4)

5)

ПОВИ-2 есть поток жидкости (поток векторного поля a(M)) через ориентированную поверхность.

Скалярная форма ПОВИ-2. ; ПОВИ-1 для ;

ПОВИ-2 для P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) x,y,z-пректируемое

E, F(x,y,z)=0; x=x(y,z); y=y(x,z): z=z(x,y)

Замечания: если прямая, параллельная к-л из координатных осей пересекает поверхность более чем в одной точке, то пов-ть следует разбить на несколько пов-тей и воспользоваться свойством аддитивности ПОВИ-2.

- ПОВИ-2

Формула Астроградского. Пусть V-ограниченая область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Пусть ф-ции P,Q,R и их частные производные dP/dx; dQ/dy; dR/dz непрерывны в замкнутой области V, тогда справедливо следуещее равенство:

ПОВИ-2 берется по внешней стороне пов-ти , ограниченной областью V.

Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.