3. Теплоємність електронного газу

Із розглянутої вище теорії теплоємності Дебая випливає висновок, що теплоємність металів і діелектриків однакова. На перший погляд таке твердження здається дивним. Адже в металах, на відміну від діелектриків, існує система вільних електронів з досить великою концентрацією, порівнянною з концентрацією атомів. При нагріванні металів вони теж повинні поглинати енергію і тому, розглядаючи електронний газ як одночастинний газ, молярна теплоємність якого дорівнює 1,5R, теплоємність металів повинна була б бути більшою від теплоємності діелектриків на цю величину і складати 4,5R. Це протиріччя пояснюється тим, що електронний газ в металах вироджений і тому в поглинанні енергії приймають участь не всі електрони, а тільки невелика їх частка. Ця доля, як показано в розділі 2.4 формула (2.13), не перевищує 1÷2%. Отже, теплова енергія поглинута електронами одного моля речовини, враховуючи (2.13), дорівнює

,

а теплоємність електронного газу

. (3.14)

При кімнатній температурі 300К енергія kT≈0,025 еВ, а енергія Фермі Е_F ≈1,5 еВ. Тому теплоємність електронного газу С_е ≈ 0,015R << 3R Тому при високих температурах вона не вносить помітного вкладу в загальну теплоємність твердих тіл. Співвідношення (3.14) показує, що теплоємність електронного газу завжди пропорційна абсолютній температурі, а теплоємність гратки при низьких температурах пропорційна кубу температури. Тому в області наднизьких температур С_e стає більшою, ніж С_гр. На рис.3.3 у збільшеному масштабі показана початкова ділянка рис. 3.1. Видно, що електронна складова теплоємності грає переважну роль при температурах порядку 10К.

В завершення, слід зауважити, що електронна теплоємність у напівпровідниках, а тим більше в діелектриках, не проявляється, так як концентрація електронів у них набагато менша, ніж в металах.

3. Теплове розширення твердих тіл

Зміна геометричних розмірів твердих тіл при зміні температури називається тепловим розширенням. Для пояснення природи цього явища розглянемо залежність потенціальної енергії U взаємодії між атомами від відстані r між ним рис. 3.4, суцільна крива 2. Вона відображає крайні положення r₁ і r₂ частинки, яка здійснює ангармонічні (негармонічні) коливання відносно положення рівноваги r_o при температурі відмінній від 0К. Ця крива асиметрична відносно лінії . Ліва вітка іде крутіше, ніж права. Тому відхилення частинки вліво менше, ніж вправо . Середня відстань (точка А) більша від рівноважної . А це й означає розширення кристалу. У випадку протилежної асиметрії кривої потенціальної енергії (рис.3.5) кристал з ростом температури буде стискуватись.

Для кількісного описання явища теплового розширення лінійного наближення залежності сили F взаємодії від зміщення , яке приймається в законі Гука, в теорії теплоємності, тепер уже недостатньо. Дійсно, в лінійному наближенні сила , а потенціальна енергія

(3.15)

уявляє собою квадратну параболу (рис. 3.4, крива 1), симетричну відносно положення рівноваги. Тому середня відстань не змінюється. Отже, в раді розкладення сили по степеням х враховується і квадратичний член з коефіцієнтом ангармонічності g

. (3.16)

Потенціальна енергія, яка знаходиться аналогічно (3.15),

(3.17)

описує асиметричну криву 2 рис. 3.4. Дійсно, знак другого доданку (3.17) змінюється у відповідності із знаком х. При відхиленні вліво x<0 і графік іде вище квадратної параболи, при відхиленні вправо x>0 і крива іде нижче параболи.

Знайдемо коефіцієнт α теплового розширення, як відносну зміну геометричного розміру при зміні температури на 1К

. (3.18)

Середнє зміщення знаходимо усереднивши силу у виразі (3.16). Ясно, що середнє значення сили дорівнює нулю

. (3.19)

Середнє значення потенціальної енергії дорівнює половині повної енергії гратки, тобто

. (3.20)

Тут враховано, що середнє значення , так як в процесі коливань х змінює знак. Із (3.20) знаходимо , підставляємо в (3.19). Одержуємо . Тоді із (3.18) маємо

. (3.21)

Отже температурна залежність коефіцієнта теплового розширення анологічна рис.3.1 температурній залежності теплоємності гратки. Для більшості металів коефіцієнт теплового розширення знаходиться в межах

10^-4 ÷ 10^-5 К^-1.