2. Нормальні коливання кристалічної гратки. Спектр цих коливань. Поняття про фонони. Фононна модель твердих тіл

За рахунок теплової енергії атоми кристалу здійснюють коливання навколо свого положення рівноваги. Причому за рахунок сил зв’язку між атомами коливання передаються від одного атома до іншого. Таким чином цей колективний рух атомів охоплює увесь кристал у вигляді пружних коливань різних частот і довжин хвиль. Знайдемо частоти і довжини хвиль цих нормальних коливань.

Розглянемо одномірний ланцюг довжиною L із N атомів, відстань між якими а. Вияснимо, які довжини хвиль можуть в ньому виникати. Як видно з рис.3.2 можливий цілий набір довжин хвиль від 2L до 2L/N, причому існує мінімальне значення λ_min = 2L/N = 2а. Цій мінімальній довжині хвилі відповідає максимальна циклічна частота коливань, яка названа частотою Дебая,

. (3.4)

У формулу (3.4) входять характерні для кожної речовини величини: міжатомна відстань а і швидкість поширення пружних коливань, тобто швидкість звуку υ. Тому для кожної речовини частота Дебая різна і являється її характерним параметром. Наприклад, для міді а=3,610^-10м, υ = 3550 м/с, ω_D = 310¹³ Гц.

Для більш наглядної оцінки частоти Дебая вводиться характерна температура Дебая θ_D, при якій теплова енергія kθ_D дорівнює енергії коливань ћω_D, тобто

, (3.5)

де - стала Планка.

Виходячи із означення, слід відмітити, що температура Дебая це така температура, вище якої в кристалі збуджуються всі можливі частоти коливань. При менших температурах теплового збудження зазнають низькочастотні коливання, а високочастотні ні. По мірі зростання температури частотна межа збуджених і не збуджених коливань зростає, наближаючись до свого граничного значення – частоти Дебая. Таким чином температура Дебая поділяє температурну шкалу на область низьких (Т<<θ_D) і високих (Т>>θ_D) температур, в яких властивості речовин суттєво різні. В табл.3.1 приведені значення температури Дебая для деяких речовин.

Табл.3.1

Речовина	Fe	Al	Sі	Ge
θD, К	467	418	658	366

При певній температурі в кристалі збуджуються коливання з різними частотами і енергіями. Порція (квант) енергії ћω, на яку змінюється енергія нормальних коливань кристалічної гратки називається фононом. Це квазічастинки введені для спрощення фізичної моделі твердого тіла. По фононній моделі тверде тіло розглядається як посудина, обмежена поверхнею кристалу і заповнена фононним газом, який має бозонні властивості. Спін фононів дорівнює нулю. Це дає можливість застосувати до твердого тіла математичний апарат фізичної статистики з використанням функції розподілу Бозе-Ейнштейна

. (3.6)

Густина квантових станів для фононів, як функція циклічної частоти, має вигляд

. (3.7)

3. Дебаєвська теорія теплоємності твердих тіл

Квантова теорія теплоємності твердих тіл була розроблена у 1912 році німецьким фізиком Дебаєм в рамках фононної моделі твердого тіла. Термодинамічна енергія кристалу складається із енергії нормальних коливань. Знайдемо коливальну енергію Е_гр кристалічної гратки як енергію усіх фононів із врахуванням розподілу по частотам (енергіям), аналогічно, як це робилося в розділі 2.5 (див. чисельник формули (2.14))

. (3.8)

Підставимо в (3.8) вирази (3.6) і (3.7), а також замінимо верхню межу інтегрування з ∞ на ω_D, так як більшої частоти коливань у кристалі не виникає. Одержимо

. (3.9)

Для взяття інтегралу виконаємо такі заміни:

Після підстановок і спрощень, враховуючи, що , одержуємо

. (3.10)

Інтеграл (3.10) і молярну теплоємність знайдемо для двох температурних інтервалів, врахувавши, що N=N_A, а .

Область високих температур Т>>θ_D. Для таких температур ћω<<kT, тобто x<<1, внаслідок чого в степеневому ряді можна обмежитись першими двома членами, так як наступні набагато менші від них. Тоді енергія гратки

, (3.11)

а молярна теплоємність

. (3.12)

Таким чином, в області високих температур теорія Дебая дає відомий закон Дюлонга і Пті.

Область низьких температур Т<<θ_D. Для таких температур верхню межу інтеграла (3.10) можна замінити нескінченністю. Враховуючи, що є табличним, одержуємо

і

. (3.13)

В області низьких температур молярна теплоємність пропорційна кубу абсолютної температури (3.13). Це закон Дебая (див. рис.3.1), який добре узгоджується з експериментом .