4. Електропровідність твердих тіл

1. Дрейф носіїв струму в електричному полі. Рухливість носіїв струму. Питома електропровідність

При відсутності електричного поля електрони в твердому тілі знаходяться в рівноважному стані і, рухаючись хаотично, не мають якогось переважного напрямку руху. Заряд, який переноситься через будь-який переріз провідника, однаковий. Електричний струм відсутній.

Накладення електричного поля викликає, наряду з тепловим рухом, направлений рух проти напруженості електричного поля. Такий рух зарядів називається дрейфом, а швидкість–дрейфовою швидкість V_др(t). Знайдемо величину і закон зміни цієї швидкості з часом після вимикання електричного поля. На електрон з боку електричного поля діє прискорюючи сила F_ел = - qE. Вплив кристалічної гратки формально можна врахувати дією деякої сили опору F_оп = - r V_др(t), яка пропорційна дрейфовій швидкості і протилежна їй за напрямком. Ця сила враховує розсіювання електрона. Тоді диференційне рівняння руху електрона, виходячи з 2-го закону Ньютона, набуде вигляду,

. (5.1)

Якщо після встановлення стаціонарного струму поле вимкнути, тобто в рівнянні (5.1) покласти Е=0, одержимо

. Після інтегрування, маємо

. Позначимо - час релаксації

струмового стану, тобто час, за який дрейфова швидкість зменшується в е ≈ 2,7 рази. Для металів τ ~ 10^-14с. Одержимо

. (5.2)

При сталому режимі протікання струму дрейфова швидкість уже не буде змінюватись з часом. Тому рівняння (5.1) набуде вигляду при . Звідки оцінимо V_др

.

Ця швидкість набагато менша від теплової швидкості, яка складає декілька 1000 м/с. З останнього рівняння знайдемо відношення дрейфової швидкості до напруженості електричного поля

. (5.3)

Ця величина називається рухливістю. Це дрейфова швидкість, яку набуває носій заряду в електричному полі одиничної напруженості. Розрізняють рухливість електронів U_n і дірок U_p.

Знайдемо питому електро-провідність кристалу, тобто електропровідність провідника довжиною 1м і площею перерізу 1м². За час dt через переріз провідника dS (рис.5.1) перейдуть електрони, які знаходяться від нього не далі, ніж V_дрdt і перенесуть заряд dQ=n∙q∙V_др∙dt∙dS, n – концерн-трація, q – заряд електрона. Струм – це швидкість переносу заряду , а його густина – це струм, який протікає через одиницю площі поперечного перерізу . Таким чином, маємо

. (5.4)

Одержали відомий закон Ома в диференційній формі. Тут електронна складова питомої електропровідності, враховуючи формулу (5.3), буде

. (5.5)

Діркова складова електропровідності у напівпровідниках знаходиться аналогічно

. (5.6)

У формулах (5.5,) і (5,6) m_n і m_p – ефективні маси електронів і дірок.

2. Залежність рухливості носіїв заряду від температури

Щоб встановити температурну залежність електропровідності проаналізуємо спочатку температурну залежність рухливості. Формула (5.3) показує, що вона визначається залежністю часу релаксації τ від температури. Ясно, що час релаксації прямо пропорційний довжині вільного пробігу електрона λ і обернено пропорційний тепловій швидкості V

. (5.7)

Розглянемо область високих температур. При високих температурах основним механізмом розсіювання електронів є електрон-фононна взаємодія Концентрація фононів тут пропорційна температурі і досить велика. А так як λ ~ 1/n_ф, маємо λ ~ 1/Т.

Теплова швидкість електронів у випадку не виродженого характеру

системи, тобто у напівпровідниках, , а у випадку виродженої системи, в металах, дорівнює швидкості Фермі (див. розділ 2.4) не залежить від температури.

Таким чином, для напівпровідників

, (5.8)

а для металів . (5.9)

В області низьких температур концентрація фононів мала, і головним є розсіювання електронів на домішкових атомах і інших структурних дефектах. Як показав Резерфорд, довжина вільного пробігу електронів у цьому випадку пропорційна 4-ій степені швидкості λ ~ V⁴. Тоді рухливість U ~ V³. Температурна залежність швидкості проаналізована вище. Таким чином одержуємо для напівпровідників

, (5.10)

а для металів . (5.11)

Залежності рухливості від температури показані на рис.5.2.