2. Функція розподілу для невироджених систем (функція Максвелла-Больцмана)

Функція Максвелла- Больцмана описує невироджені системи як ферміонів, так і бозонів, і має вид

, (2.7)

де μ – хімічний потенціал. Його можна знайти із умови нормування функції розподілу

(2.8)

Інтеграл взятий заміною , враховуючи, що є табличним. Одержуємо нормовану функцію Максвелла-Больцмана

. (2.9)

Із виразів (2.2), (2.6) і (2.9) після спрощень одержимо нормовану повну статистичну функцію розподілу Максвелла-Больцмана

. (2.10)

Графіки функцій (2.7) і (2.10) мають вид

2. Функція розподілу для вироджених систем (функція Фермі-Дірака)

Функція Фермі-Дірака описує вироджені системи ферміонів і має вид

(2.11)

Графік цієї функції показаний на рис.2.4. При температурі Т=0К і Е<μ f(E)=1, а при E>μ f(E)=0. Це означає, що квантові стани, в яких енергія частинок менша від хімічно-го потенціалу μ, займаються з ймовірністю 1, тобто всі вони зайняті. Ймовірність же зайняття рівнів, енергія частинок на яких більша від хімічного потенціалу, дорівнює нулю, тобто вони всі вільні. Рівень, на якому енергія частинок дорівнює хімічному потенціалу, називається рівнем Фермі. При температурах, відмінних від абсолютного нуля при Е=μ f(E)=1/2. Отже рівень Фермі – це енергетичний рівень, ймовірність зайняття якого частинками дорівнює 1/2. При збільшенні температури край функції розподілу Фермі-Дірака розмивається. І чим вища температура, тим більше розмиття, яке охоплює інтервал енергій ±kT. Це означає, що частинки з енергією меншою, але близькою до рівня Фермі зазнають теплового збудження, тобто одержують теплову енергію, і переходять на більш високі енергетичні рівні за рівень Фермі. Метал, а саме в ньому електронний газ описується розглядуваною функцією, представляє для електронів потенціальну яму з дискретним енергетичним спектром, показаним на рис.2.5. З нього видно, що максимальну кінетичну енергію при Т=0К мають електрони, які знаходяться на рівні Фермі μ. Ця кінетична енергія, відрахована від дна ями позитивна і називається енергією Фермі E_F. Знайдемо її із умови, що при Т=0К інтеграл дорівнює загальній кількості частинок. Одержимо .

Отже, . (2.12)

Тут n=N/V – концентрація електронів. При n=10²⁸ м^-3 Е_F ≈ 1,5 еВ. Зручніше задавати цю енергію характеристичною температурою Фермі T_F, яка вводиться із рівняння E_F = kT_F. При оціненому значенні енергії Фермі температура Фермі дорівнює T_F=210⁴K, яка набагато більша від температури плавлення металів. Цей результат ще раз доводить, що електронний газ в металах завжди вироджений.

Оцінимо долю електронів, які при температурі Т зазнають теплового збудження, тобто знайдемо долю частинок, які знаходяться в інтервалі kT енергії поблизу рівня Фермі. Відстань між енергетичними рівнями в потенціальній ямі . Тоді кількість енергетичних рівнів в інтервалі kT буде . Враховуючи, що електронів у 2 рази більше, ніж рівнів, але ймовірність іх заняття поблизу рівня Фермі дорівнює 0,5, одержуємо

. (2.13)

Навіть при температурі 1000К ця доля збуджених електронів не перевищує 1÷2%.

Як же видозмінюється функція Фермі-Дірака при високих температурах? Коли Е-μ >> kT, тобто Е >> μ + kT, одиницею в знаменнику функції (2.11) можна знехтувати, і функція перейде у функцію (2.7) Максвелла-Больцмана, як і повинно бути у випадку переходу виродженої системи в не вироджену.

.