2. Залежність концентрації вільних носіїв заряду в напівпровідниках від положення рівня Фермі

Намалюємо енергетичну діаграму напівпровідника (рис.5.7). Енергію будемо відраховувати від дна зони провідності. З рисунка видно, що . Так як електрон-ний газ в напівпровідниках не вироджений, скористаємось повною статистичною функцією розподілу Максвелла-Больцмана по енергіям

Тоді концентрація електронів в інтервалі енергій від Е до Е+dЕ в зоні провідності буде дорівнювати

. (5.16)

Повна концентрація електронів в зоні провідності при сталій температурі знайдеться шляхом інтегрування (5.16)

.

Так як функція із зростанням енергії швидко зменшується, верхню межу інтегрування Е_верх можна замінити нескінченністю ∞.

.

Замінюючи =х, маємо

. Враховуючи значення табличного інтегралу , одержуємо концентрацію електронів . (5.17)

Аналогічно для концентрації дірок маємо

. (5.18)

Тут N_C і N_V – ефективна концентрація станів у зоні провідності і у валентній зоні відповідно. Так як μ і μ^I від’ємні (див. рис.5.7) можна зробити висновок: чим далі знаходиться рівень Фермі від границі зони тим менша концентрація відповідних вільних носіїв заряду – електронів у зоні провідності, дірок у валентній зоні. Добуток концентрацій електронів і дірок

(5.19)

не залежить від положення рівня Фермі, а визначається тільки шириною забороненої зони ΔЕ_g і температурою. Це співвідношення називається законом діючих мас.

2. Положення рівня Фермі і концентрація вільних носіїв заряду у власних напівпровідниках. Електропровідність власних напівпровідників

Для власних напівпровідників концентрація електронів і дірок однакові, так як кожний перехід електрона в зону провідності супроводжується виникненням вільної дірки у валентній зоні. Прирівнюючи ліві частини рівнянь (5.17) і (5.18) після спрощення враховуючи, що маємо

. Знайдемо μ

. (5.20)

При Т=0К , тобто рівень Фермі знаходиться посередині забороненої зони. З ростом температури він зміщується від середини зони в залежності від співвідношення ефективних мас: (рис.5.8) при m_p>m_n вверх, при m_p<m_n вниз. Підстановка (5.20) в (5.17) після елементарних спрощень дає

. (5.21)

Індекс і означає, що мова йде про власний напівпровідник. Електропровідність власних напівпровідників складається із електронної і діркової компонент, тобто

. (5.22)

В області високих температур рухливість ~ Т^-3/2, тому

~ Т⁰ не залежить від температури. Функцію (5.22) питомої електропровідності власних напівпровідників від температури зручно зображати у напівлогарифмічних координатах , коли вона уявляє пряму лінію, рис.5.9. По нахилу цієї лінії можна визначити ширину забороненої зони напівпровідника ΔЕ_g

.

2. Положення рівня Фермі і концентрація вільних носіїв заряду в домішкових напівпровідниках. Електропровідність домішкових напівпровідників при низьких температурах

Намалюємо зонну діаграму донорного напівпровідника, рис.5.10. При низьких температурах іонізуються атоми донорної домішки, так як для переходу електрона із валентної зони в зону провідності енергії теплового збудження недостатньо. Тому генеруються вільні електрони і зв’язані іони донорних атомів. Концентрація електронів, згідно з формулою (5.17), дорівнює . Концентрацію іонізованих донорів р_д запишемо, скориставшись формулою (5.18), в якій ефективну кількість станів у валентній зоні N_V замінимо на концентрацію донорної домішки N_д, так як саме вона являється ефективною кількістю станів для позитивних іонів донорних атомів,

. Так як кожний електронний перехід приводить до появи одного вільного електрона і одного позитивного іона, концентрація електронів і іонів однакова, n = p_д. Із рис.5.10. видно, що . Таким чином, одержуємо

. (5.23)

Рівень Фермі при Т=0К знаходиться посередині між дном зони провідності і донорним рівнем. Концентрацію електронів знайдемо після підстановки (5.23) в (5.17)

. (5.24)

Аналогічно знаходиться концентрація дірок р у акцепторному напівпровіднику

. (5.25)

Електропровідність зумовлена носіями одного знаку. Тому

(5.26)

. (5.27)

Графік температурної залежності домішкової електропровідності (рис.5.11) зображають у таких же напівлогарифмічних координатах, як і власну електропровідність (див. рис.5.9). Нахил графіка дає можливість знайти енергію активації домішкових атомів Е_D чи E_A.