Тема 6. Полнодоступный пучок. Система с ожиданием. Экспоненциальное время обслуживания вызовов простейшего потока. Вторая формула Эрланга. Модель m|m|V.

Необходимые сведения по теме содержатся в [1, стр.79-88], [3, стр.84-89].

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой система обслуживания с ожиданием?

2. Назовите ограничение на величину поступающей нагрузки в системе с ожиданием?

3. Какие показатели качества обслуживания вызовов используются в системах с ожиданием?

4. Приведите вторую формулу Эрланга. От каких параметров зависят условные потери в этой модели?

5. Охарактеризуйте функцию распределения времени ожидания начала обслуживания.

6. Укажите рациональную область применения систем с ожиданием.

Пример решения задачи

задача

На полнодоступный пучок емкостью V=10 линий поступает простейший поток вызовов с параметром λ₁=180^выз/_чac и λ₂=300^выз/_чac. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, средняя величина которого t = 90с. Постоянная обслуживания β=1. Допустимое время ожидания начала обслуживания t_∂ =90c. Требуется определить:

Вероятность потерь по времени – Р_t;

Вероятность занятия всех линий пучка - Р_у;

Вероятность потерь по вызовам - Р_в;

Вероятность того, что время ожидания начала обслуживания превысит t-P(γ>t);

Среднее время ожидания начала обслуживания по отношению к любому вызову М[γ];

Среднее время ожидания начала обслуживания по отношению к задержанному вызову – M[γ_з];

Среднюю длину очереди - М[ j];

Вероятность того, что длина очереди превысит один вызов - P(j > 1).

решение

Вероятность потерь по времени - P_t можно определить по формуле

где Y - интенсивность поступающей нагрузки

(Эрл)

Значение функции распределения начала обслуживания Р(у > t) по формуле (5.13) [1]:

,

где t - допустимое время ожидания начала обслуживания в относительных единицах ;

Тогда = 0,0189е^-(10-4,5) = 0,000237= 0,237 * 10^-3

Следовательно, из миллиона обслуженных вызовов 273 вызова будут ждать начала обслуживания время большее одной относительной единицы (90с).

Среднее время ожидания начала обслуживания в относительных единицах для любого вызова

;

В абсолютных единицах c.

Среднее время ожидания начала обслуживания в относительных единицах для задержанных вызовов

;

В абсолютных единицах с.

^{Средняя длина очереди}

Вероятность того, что в очереди более n вызовов, определяется по формуле:

Тогда

Расчет характеристики системы обслуживания при λ₂=300 ^выз/_час проводится аналогично. По результатам решения задачи провести сравнение показателей качества обслуживания при λ₁=180 ^выз/_час и λ₂=300 ^выз/_час.

Тема 7. Полнодоступный пучок. Система с ожиданием. Постоянное время обслуживания вызовов простейшего потока. Теория Кроммелина. Формула Полячека-Хинчина модели m|d|V, m|d|1

Необходимые сведения по теме содержатся в [1] стр. 88-98, [2] стр. 175-180, [3] стр. 90-93.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается сущность теории Кроммелина?

2. Сопоставьте характер распределения времени ожидания и пропускную способность систем с ожиданием для двух распределений длительности занятия: постоянного и показательного.

3. Приведите формулу Полячека-Хинчина и поясните физический смысл входящих в нее величин.

4. Преобразуйте формулу Полячека-Хинчина применительно к моделям М|М|1 иМР|1.

5. Проиллюстрируйте графически зависимость Р(у > t) = f(t) для модели обслуживания М|М|1 и M|D|1.

Пример решения задачи

ЗАДАЧА

На блок ГИ АТСКУ, обслуживаемый одним маркером (V=1), поступает нагрузка Y=40 Эрл. Средняя длительность занятия входа блока составляет t_вх=120с. Длительность обслуживания маркером одного вызова постоянна и составляет h = 0,6с. Допустимое время ожидания начала обслуживания t_d=1,2c. Определить:

Вероятность того, что вызов будет задержан Р(γ > 0);

Вероятность того, что время ожидания начала обслуживания превысит t-P(γ > t);

Среднее время ожидания начала обслуживания для любого вызова -М[γ];

Среднее время ожидания начала обслуживания для задержанного вызова -М[γ_з];

РЕШЕНИЕ

Процесс обслуживания маркером поступающих вызовов можно рассматривать как математическую модель обслуживания простейшего потока однолинейным пучком, работающим по системе с ожиданием при случайной выборке вызовов из очереди. Эта модель исследована Берком и получены результаты в виде функции распределения времени ожидания Р(γ > t) в зависимости от нагрузки поступающей на маркер - η и допустимого времени ожидания начала обслуживания.

По полученной зависимости построены кривые (кривые Берка) [2, стр.178 или Приложение 4]. Для определения величины η воспользуемся следующей формулой

Эрл.

Нагрузка, поступающая на маркер, меньше 1 Эрл, следовательно, маркер с обслуживанием такой нагрузки справится. Допустимое время ожидания выражается в относительных единицах:

По кривым Берка определяем Р(γ > 0) = 0,2; Р(γ > 2) = 0,002, т.е. 20% всех поступивших вызовов обслуживается с ожиданием; 0,2% вызовов обслуживаются с временем ожидания свыше 1,2 с.

Среднее время ожидания начала обслуживания определяется по формуле Полячека-Хинчина. Применительно к данной модели они имеют следующий вид:

; ;

Тогда эта величина в относительных единицах:

; ;

В абсолютных единицах М[γ] = 0,125 · 0,6 = 0,075 с;

М[γ₃] = 0,625 · 0,6 = 0,375 с.

Такое время ожидания начала обслуживания для абонента является вполне приемлемым.