Вопрос 25.

Дискретная обработка сигналов. Аналитический вид и спектральная плотность дискретизированного сигнала. Прямое и обратное преобразование аналоговых и цифровых сигналов. Z-преобразование цифровых цепей и сигналов. Свойства.

Дискретизация — процесс превращения во времени непрерывного сигнала в дискретную последовательность отсчетов, следующих с некото­рым временным интервалом Δt = Т, и по которым с заданной точностью можно вновь восстановить исходный сигнал.

Процедуру получения дискрети­зированного сигнала u_T(t) удобно рассматривать как непосредственное умножение непрерывного сигнала u(t) на вспомогательную последовательность y(t) коротких дискретизирующих прямо­угольных импульсов единичной амплитуды u_T(t) = u(t)y({t). (ф1) (Рис а)

На практике эту операцию осуществляют с помощью электронного ключа К и генератора прямоугольных импульсов Г. Длительность импульсов дискретизации τ_и должна быть небольшой (теоретически дельта-функция), при­чем много меньше интервала Δt. Принцип формирования дискретного сигнала на графике. При этом реальный дискретный сигнал u_T(t) имеет вид импульсно-модулированного колебания, т. е. АИМ-сигнала.

Чтобы дать оценку требованиям к длительности дискретизирующих импульсов, определим спектральный состав дискретного сигнала u_T(t). Пусть непрерывный сиг­нал u(t) имеет спектральную плотность S(ω) (рис.а). Представим последова­тельность дискретизирующих прямоугольных импульсов y(t) рядом Фурье, в котором частота

(ф2)

Здесь коэффициенты

Подставив формулу (ф2) в (ф1), получим

(ф3)

Проанализируем первое и второе слагаемые этого выражения отдельно. Первому слагаемому соответствует спектральная плотность S(ω) исходного сиг­нала u(t). К произведению u(t)cosnω₁t второго слагаемого применим прямое пре­образование Фурье.

Используя формулу Эйлера и проведя несложные математические выклад­ки, запишем

В этом выражении первый интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала u(t) на частотах ω-nω₁ а второй ту же спектральную плотность, но на частотах ω+nω₁ поэтому

Следовательно, дискретному сигналу вида (ф3) соответствует спектраль­ная плотность

Учитывая, что при п = 0 коэффициент In = 1, запишем

График спектра дискретного сигнала S_T(ω) который сформирован на основе теоремы Котельникова из непрерывного, показан на рис

Полученные результаты позволяют сделать фундаментальные выводы для теории дискретных сигналов:

• спектральная плотность S_T(ω) дискретного сигнала u_T(t) представляет собой бесконечную последовательность спектральных плотностей S(ω) исходного непрерывного сигнала u(t), сдвинутых друг относительно друга на частоту дискретизации ω1;

• огибающая спектральной плотности S_T(ω) дискретного сигнала u_T(t) с точностью до коэффициента 1/Δt повторяет огибающую спектральной плотности дискретизирующего прямоугольного импульса.

Чтобы восстановить непрерывный сигнал u(t) из дискретного u_T(t), доста­точно выделить небольшую центральную часть спектра S_T(ω). На практике это осуществляют идеальным ФНЧ, имеющим коэффициент передачи вида (штри­ховая линия прямоугольной формы на рис. выше):

Z-преобразование - одна из форм преобразования Лапласа и поэтому об­ладает подобными свойствами.

По аналогии с преобразованием Лапласа для аналогового сигнала u(t) для дискретного сигнала {u_k} изображение по Лапласу определяется формулой

Обратное дискретное преобразование Лапласа заданной последовательно­сти имеет вид:

(ф4)

Изображения по Лапласу дискретных сигналов, в которые сомножителем входит экспоненциальный член е^рΔt, являются трансцендентными функциями аргумента р, что существенно усложняет анализ. Его можно упростить, переходя к z-преобразованию. Для этого в дискретном преобразовании Лапласа вводят новую переменную z = е^рΔt.

Рассмотрим дискретную последовательность {и_к} = и₀, u₁, ... , содержащую отсчеты значений некоторого непрерывного сигнала u(t). Тогда на основании формулы (ф4) прямое z-преобразование определяется суммой ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:

(ф5)

Функция U(z) определена только для области переменной z, в которой сте­пенной ряд (ф5) сходится.