Вопрос 23) Оптимальная линейная фильтрация сигналов. Передаточная функция и импульсная характеристика согласованного фильтра.

Оптимальный (согласованный) линейный фильтр:Уменьшение влияния шумов достигают различными способами, в том чис­ле выбором наилучших характеристик цепей, через которые проходит смесь сигнала и шума. Основой большинства практических методов выделения сигна­ла из аддитивной смеси сигнала и шума в приемниках является оптимальная линейная фильтрация, использующая линейные частотные фильтры. Удобнее всего описывают оптимальные фильтры с помощью импульсной или частотной (коэффициент передачи) характеристики.

Критерии оптимального приема радиосигналов:В зависимости от на­значения системы передачи информации и характера принимаемого сигнала на фоне действующих помех принимают различные критерии оптимального прие­ма. Под обнаружением понимают сам факт приема радиосигнала. Такой случай характерен для радиолокации, одна из задач которой состоит в обнаружении предполагаемой цели. Под разрешением сигналов понимают, какое именно из нескольких воз­можных переданных сообщений поступило на вход радиоприемного устройства. Например, при передаче цифровых сообщений двоичным кодом необходимо определить, какой бит, 1 или 0 передан в данный момент по радиоканалу.

При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий макси­мума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого это отношение максимально, называют оптимальным (подразумевая наилучшим), или согласованным, фильтром.

Отношение сигнал/шум: Используем в приемнике линейный фильтр с та­ким частотным коэффициентом передачи К( ). При подаче на вход оптималь­ного фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе мож­но получить заметное увеличение отношения сигнал/шум.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Определим коэффициент передачи оптимального фильтра приемни­ка при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W₀. Для удобства анализа представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде ,где — АЧХ; — ФЧХ фильтра.Пусть входной сигнал u(t) имеет спектральную плотность: ,здесь и —амплитудный и фазовый спектры при­нимаемого сигнала.

О тметим некоторый момент времени t = t₀, при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. В Сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника): . Находим среднюю мощность (дисперсию) белого шума на выходе фильтра: .

Найдем отношение мощностей сигнала и шума:

Находим коэффициент передачи фильтра: : ,эта

формула полностью определяет коэффициент передачи оптимально­го фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра: , По определению частотный коэффициент передачи — безразмерная вели­чина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность, об­ратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S ). АЧХ фильтра должна с точностью до масштабно­го множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром входного сигнала. Благодаря этому, подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход опти­мального фильтра почти без ослабления и вносит основной вклад в образование его пикового значения. Формулу , описывающую фазочастот­ную характеристику оптимального фильтра, можно трактовать как условие компенсации на­чальных фаз всех гармонических составляющих спектра выходного сигнала. Согласно этому ус­ловию, оптимальный фильтр должен иметь та­кую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники - ( ) был равен по значению и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S( ) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию {«обнуление») начальных фаз всех спектральных составляющих входного сигнала u(t), в результате чего и образуется пик (максимум) выходного сигнала на интервал времени to. Коэффициент передачи фильтра, описываемый соотноше­нием , согласован с амплитудным и фазовым (или фазовой характеристи­кой) спектрами входного сигнала. Поэтому рассмотренный оптимальный ли­нейный фильтр часто называют согласованным.

Импульсная характеристика оптимального фильтра: Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, вычислим обратное преоб­разование Фурье от частотного коэффициента передачи Используя уже применяемую ранее формулу для определения импульсной характеристики че­рез коэффициент передачи получим

. Поскольку S*( ) = S(- ), то, переходя к новой переменной ₂ = - , после несложных преобразований, запишем . Правая часть этого выражения функция As (t₀ — t). Следовательно, если задан сигнал s(t), то импульсная характеристика согласованного (оптимального) фильтра g(t) определяется как функция .

П остроение графика функции s(t₀ — t) показано на рис. 12.4. Кривая s (-t) является зеркальным отражением заданного сигнала s(t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция же s(t₀ –t), сдвинутая относительно s(—t) на величину t₀ вправо, также зеркаль­на по отношению к исходному сигналу s(t), но с осью симметрии, проходящей через точку t₀/2 на оси абсцисс. Поскольку при t < 0 импульсная характеристика линейной цепи не существует, то временная задержка to между началом действия сигнала на входе фильтра и моментом образования макси­мального пика сигнала на его выходе должна быть не менее длительности сиг­нала T_c. Это одно (но недостаточное) из условий физической реализуемости оп­тимального фильтра, показывающее, что для создания максимального пика сиг­нала на выходе надо провести обработку фильтром всего входного сигнала s(t). Фундаментальной особенностью оптимального фильтра является то, что обнаружение с его помощью сигнала в шумах зависит не от формы, а от его энергии.Задачей согласованного фильтра для двоичной сис­темы является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получе­ние одного отсчета, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы. Согласованным фильтром может быть пассивный фильтр на линиях за­держки, или коррелятор, или специальное цифровое устройство, преобразующее входную смесь сигнал/шум в частотную область, умножающее полученный спектр на спектр, комплексно-сопряженный со спектром входного сигнала, на который настроен оптимальный приемник, и возвращающий результат обратно во временную область. Но в любом случае это будет устройство, АЧХ которого повторяет амплитудный спектр сигнала, а ФЧХ — есть зеркальное отражение фазовой характеристики сигнала. Согласованный с неким сигналом фильтр — это линейный четырехполюсник, импульсная характеристика которого является зеркальным отражением этого сигнала.