2. Гармоническое колебание со случайной фазой

Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза — случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале, плотность вероятности начальной фазы

Совокупность гармонических колебаний со случайными фазами

Одну из реализаций случайного процесса образуемого совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами можно определить выражением

Плотность вероятности гармонического колебания со случайной фазой :

Плотность вероятности:

Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени t

совпадает со средним по времени

Корреляционная функция в данном случае

Гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией).

3. Гауссовский случайный процесс

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи как дробовым эффектом в электронных приборах

Одномерная плотность вероятности нормального распределения:

Случайные функции с одинаковым распределением (нормальным), но с различными частотными спектрами:

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

С одной стороны, скорость изменения х(t) во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость изменения х(t) определяет ход ковариационной функции.

Теорема Винера — Хинчина утверждает, что

Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса границы центральной полосы 1 :

Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид

Из этих выражений вытекает свойство, чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах .

Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

К узкополосным случайным процессам относят процессы, спектральная плотность мощности которых соредоточена в относительно узкой полосе частот в окрестности некоторой достаточно высокой частоты f₀

Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире полосы пропускания цепи, через которую проходит данный сигнал.

Если случайный процесс обладает равномерным энергетическим спектром в бесконечно широкой полосе частот то такой шум называют белым по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр.