3.2. Несобственный интеграл II рода

Определение. Сходящимся несобственным интегралом второго рода от функции , непрерывной при , неограниченной при , называется предел интеграла при , если этот предел существует.

Записывают это так:

, .

Говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если этот предел не существует, то равенство теряет смысл и не­собственный интеграл, написанный слева, называется расходящимся.

Если функция претерпевает бесконечный разрыв только в левом конце интервала , то

, ,

если этот предел существует.

Замечание. Интеграл сходится при и расходится при .

Также можно заметить, что интегралы

и

сходятся, если , и расходятся, если .

Если функция имеет бесконечный разрыв в какой-нибудь про­межуточной точке интервала , , то, по определению,

.

Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и интеграл . Этот интеграл расходится, если расходится хотя бы один из интегралов справа.

Признаки сходимости интегралов второго рода аналогичны признакам сходимости интегралов первого рода.

Главное значение (в смысле Коши)

Если функция такова, что при любом существуют собственные интегралы

и ,

то под главным значением в смысле Коши (v. p.) понимается число

v. p. .

Пример 3.5. Вычислить несобственный интеграл от неограниченной функции (или установить его расходимость).

Решение. Преобразуем интеграл:

.

Пример 3.6. Вычислить несобственный интеграл

от неограниченной функции (или установить его расходимость).

Решение. Сделаем замену переменных , тогда . При получим ; при получим .

Поэтому

Пример 3.7. Исследовать на сходимость интеграл

от неограниченной функции.

Решение. Подынтегральная функция в промежутке интегрирования положительна и при стремится к бесконечности. Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечно малых величинах, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби. Имеем:

, , при .

Откуда получаем эквивалентность функций

.

По признаку сравнения можно исследовать , который сходится, т. к.

.

Поэтому сходится и исходный интеграл.

Вычислить несобственные интегралы от неограниченных функций (или установить их расходимость):

3.53. .	3.54. .
3.55. .	3.56. .
3.57. .	3.58. .
3.59. .	3.60. .
3.61. .	3.62. .
3.63. .	3.64. .
3.65. .	3.66. .
3.67. .	3.68. .

Вычислить интегралы:

3.69. .	3.70. .
3.71. .	3.72. .
3.73. .	3.74. .
3.75. .	3.76. .

Исследовать на сходимость интегралы:

3.77. .	3.78. .
3.79. .	3.80. .
3.81. .	3.82. .
3.83. .	3.84. .
3.85. .	3.86. .
3.87. .	3.88. .
3.89. .	3.90. .

Найти интегралы в смысле главного значения:

3.91. v. p. .	3.92. v. p. .
3.93. v. p. .	3.94. v. p. .
3.95. v. p. .	3.96. v. p. .
3.97. v. p. .	3.98. v. p. , .

Ответы: 3.53. . 3.54. Расходится. 3.55. . 3.56. . 3.57.  . 3.58. Расходится. 3.59. Расходится. 3.60. . 3.61. Расходится. 3.62.  . 3.63. . 3.64. . 3.65. Расходится. 3.66. . 3.67. . 3.68. Расходится. 3.69. . 3.70. Сходится. 3.71. Сходится. 3.72. . 3.73.  . 3.74. . 3.75. . 3.76. . 3.77. Расходится. 3.78. Сходится. 3.79. Сходится. 3.80. Сходится. 3.81. Расходится. 3.82. Расходится. 3.83. Расходится. 3.84. Сходится. 3.85. Сходится. 3.86. . 3.87. Сходится. 3.88. Сходится. 3.89. Расходится. 3.90. Сходится. 3.91. . 3.92. . 3.94. Сходится. 3.95. . 3.96. . 3.97. . 3.98. .

50